Usando a definição
, determine a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede: usando a definição
determinar a derivada da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Devemos usar a definição de derivada (aquela com
e limite). - A tarefa é encontrar
, a função derivada para todo .
Passo 2
O que significa a definição que vamos usar? Vou explicar devagar e com carinho:
é um pequeno incremento em
. A expressão
é a razão de variação média de
quando
aumenta em
. Tomando o limite quando
obtemos a taxa de variação instantânea, que é a derivada
.
Resumo das variáveis:
-
é o ponto onde queremos a derivada. -
é um incremento (pequeno) em . -
é o valor da função no ponto . - O objetivo é calcular
.
Passo 3
Primeiro calculamos
substituindo
por
na definição de
:
Agora desenvolvemos o quadrado
. Lembre que
. Aplicando aqui:
Portanto,
Passo 4
Expandimos o produto por
:
Escrevemos também
para comparar:
Passo 5
Agora formamos a diferença
. Subtraindo termo a termo:
Os termos
e
vão se cancelar. Então sobra:
Passo 6
Dividimos a diferença por
, como manda a definição:
Fatoramos
no numerador ou dividimos termo a termo:
Essa forma é útil porque já isolamos a parte que depende de
.
Passo 7
Agora tomamos o limite quando
:
Como
não depende de
, ele passa direto para o limite, e o termo
tende a
. Logo:
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: a derivada
significa que a inclinação da reta tangente a
em cada ponto
é
. Como teste mental, usando a “regra do expoente” (que diz que a derivada de
é
), para
teríamos
, que confirma nosso resultado obtido pela definição.