Usando a definição
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}, determine a derivada das funções:
f(x)=-3-7 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: usando a definição
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},
determinar a derivada da função f(x)=-3-7x^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=-3-7x^{2}.
  • Devemos usar a definição de derivada (aquela com \Delta x e limite).
  • A tarefa é encontrar f'(x), a função derivada para todo x.

Passo 2

O que significa a definição que vamos usar? Vou explicar devagar e com carinho: \Delta x é um pequeno incremento em x. A expressão
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
é a razão de variação média de f quando x aumenta em \Delta x. Tomando o limite quando \Delta x\to 0 obtemos a taxa de variação instantânea, que é a derivada f'(x).
Resumo das variáveis:
  • x é o ponto onde queremos a derivada.
  • \Delta x é um incremento (pequeno) em x.
  • f(x+\Delta x) é o valor da função no ponto x+\Delta x.
  • O objetivo é calcular \displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Passo 3

Primeiro calculamos f(x+\Delta x) substituindo x por x+\Delta x na definição de f:
f(x+\Delta x) = -3 - 7(x+\Delta x)^{2}.
Agora desenvolvemos o quadrado (x+\Delta x)^{2}. Lembre que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando aqui:
(x+\Delta x)^{2} = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}.
Portanto,
f(x+\Delta x) = -3 - 7\bigl(x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}\bigr).

Passo 4

Expandimos o produto por -7:
f(x+\Delta x) = -3 - 7x^{2} - 14x\Delta x - 7(\Delta x)^{2}.
Escrevemos também f(x) para comparar:
f(x) = -3 - 7x^{2}.

Passo 5

Agora formamos a diferença f(x+\Delta x)-f(x). Subtraindo termo a termo:
f(x+\Delta x)-f(x) = \bigl(-3 - 7x^{2} - 14x\Delta x - 7(\Delta x)^{2}\bigr) - \bigl(-3 - 7x^{2}\bigr).
Os termos -3 e -7x^{2} vão se cancelar. Então sobra:
f(x+\Delta x)-f(x) = -14x\Delta x - 7(\Delta x)^{2}.

Passo 6

Dividimos a diferença por \Delta x, como manda a definição:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{-14x\Delta x - 7(\Delta x)^{2}}{\Delta x}.
Fatoramos \Delta x no numerador ou dividimos termo a termo:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = -14x - 7\Delta x.
Essa forma é útil porque já isolamos a parte que depende de \Delta x.

Passo 7

Agora tomamos o limite quando \Delta x \to 0:
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\bigl(-14x - 7\Delta x\bigr).
Como -14x não depende de \Delta x, ele passa direto para o limite, e o termo -7\Delta x tende a 0. Logo:
f'(x) = -14x + 0 = -14x.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: a derivada f'(x)=-14x significa que a inclinação da reta tangente a f em cada ponto x é -14x. Como teste mental, usando a “regra do expoente” (que diz que a derivada de ax^{n} é anx^{n-1}), para -7x^{2} teríamos -7\cdot 2 x^{1}=-14x, que confirma nosso resultado obtido pela definição.

Resposta

f'(x)=-14x

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