Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função e que o denominador fica zero quando
(ou seja, a função não está definida em
). A tarefa é calcular
.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função
Passo 2
Uma manipulação algébrica simples deixa a derivação mais direta. Vamos escrever
como uma soma/subtração de termos mais fáceis de derivar:
Portanto, temos
Passo 3
Agora vamos revisar as regras de derivação que vamos usar (explicadinhas, devagarzinho):
- Derivada de uma constante: a derivada de uma constante
é . Ou seja, . - Regra da potência (caso geral com cadeia): se temos
, então
Aqui “algo” é uma função de
. Esse é o resultado da combinação da regra da potência com a regra da cadeia. No nosso caso we will set “algo” =
e
porque
.
- Regra da cadeia aplicada: para
, a derivada é . E .
Passo 4
Aplicando essas regras ao nosso
:
- Derivada do
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 5
Para deixar mais claro como ficaria em forma de fração (mais familiar em provas), escrevemos
como
Passo 6
Verificação rápida usando a regra do quociente (opcional, só para confirmar): para
com
e
,
Confere com o resultado anterior.
Passo 7
Observação sobre domínio da derivada:
está bem definida para todo
tal que
, porque em
o denominador zera. Então a derivada existe para
.