Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\frac{t}{t+1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função \displaystyle f(t)=\frac{t}{t+1}.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função \displaystyle f(t)=\frac{t}{t+1} e que o denominador fica zero quando \displaystyle t=-1 (ou seja, a função não está definida em \displaystyle t=-1). A tarefa é calcular \displaystyle f'(t).

Passo 2

Uma manipulação algébrica simples deixa a derivação mais direta. Vamos escrever \displaystyle f(t) como uma soma/subtração de termos mais fáceis de derivar:
\frac{t}{t+1}=\frac{t+1-1}{t+1}=\frac{t+1}{t+1}-\frac{1}{t+1}=1-\frac{1}{t+1}.
Portanto, temos
f(t)=1-\frac{1}{t+1}.

Passo 3

Agora vamos revisar as regras de derivação que vamos usar (explicadinhas, devagarzinho):
  • Derivada de uma constante: a derivada de uma constante c é 0. Ou seja, \displaystyle \frac{d}{dt}\text{(c)}=0.
  • Regra da potência (caso geral com cadeia): se temos \displaystyle g(t)=(\text{algo})^{n}, então
\frac{d}{dt}(\text{algo})^{n}=n\cdot(\text{algo})^{n-1}\cdot\frac{d}{dt}(\text{algo}).
Aqui “algo” é uma função de t. Esse é o resultado da combinação da regra da potência com a regra da cadeia. No nosso caso we will set “algo” = t+1 e n=-1 porque \displaystyle \frac{1}{t+1}=(t+1)^{-1}.
  • Regra da cadeia aplicada: para \displaystyle (t+1)^{-1}, a derivada é -1\cdot (t+1)^{-2}\cdot\frac{d}{dt}(t+1). E \displaystyle \frac{d}{dt}(t+1)=1.

Passo 4

Aplicando essas regras ao nosso f(t)=1-(t+1)^{-1}:
  • Derivada do 1 é 0.
  • Derivada de (t+1)^{-1} é -1\cdot (t+1)^{-2}\cdot 1=-(t+1)^{-2}.
    Portanto,
f'(t)=0 - \bigl(-(t+1)^{-2}\bigr)=(t+1)^{-2}.

Passo 5

Para deixar mais claro como ficaria em forma de fração (mais familiar em provas), escrevemos (t+1)^{-2} como
f'(t)=\frac{1}{(t+1)^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida usando a regra do quociente (opcional, só para confirmar): para \displaystyle f(t)=\frac{u}{v} com u=t e v=t+1,
f'(t)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{1\cdot (t+1)-t\cdot 1}{(t+1)^{2}}=\frac{t+1-t}{(t+1)^{2}}=\frac{1}{(t+1)^{2}}.
Confere com o resultado anterior.

Passo 7

Observação sobre domínio da derivada: \displaystyle f'(t)=\frac{1}{(t+1)^{2}} está bem definida para todo \displaystyle t tal que \displaystyle t\neq -1, porque em \displaystyle t=-1 o denominador zera. Então a derivada existe para \displaystyle t\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Resposta

\displaystyle f'(t)=\frac{1}{(t+1)^{2}}

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