Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=3 x \sqrt{4-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada de f(x)=3 x \sqrt{4-x^{3}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é f(x)=3x\sqrt{4-x^{3}}.
  • A raiz quadrada impõe a condição 4-x^{3}\ge 0, ou seja o domínio natural onde a função é real é x\le \sqrt[3]{4}.
    Não vou resolver nada ainda; a partir daqui começamos as técnicas que precisamos usar.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática, como numa aula curta):
  • Regra do fator constante: se g(x) é uma função, então a derivada de uma constante multiplicando g é
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)\big)=a\cdot g'(x),
onde a é uma constante. Aqui a representa um número fixo (como 3); g(x) é qualquer função de x.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Ou seja: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes a derivada do segundo. Isso serve sempre que temos um produto entre duas coisas que dependem de x.
  • Regra da cadeia: se temos uma função composta h(x)=\varphi(\psi(x)), onde \varphi é a função externa (por exemplo potência) e \psi é a função interna, então
h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot \psi'(x).
Na prática: derivar a parte externa avaliando na interna e multiplicar pela derivada da parte interna.
Vou aplicar essas três regras combinadas: primeiro a constante 3, depois produto entre x e \sqrt{4-x^{3}}, e para a raiz uso a cadeia.

Passo 3

Reescrevo a função escrevendo a raiz como potência (isso facilita usar a cadeia):
f(x)=3x(4-x^{3})^{1/2}.
Aqui a parte externa da raiz é elevar a 1/2 e a parte interna é 4-x^{3}.

Passo 4

Aplico a regra do fator constante: a derivada de 3 vezes algo é 3 vezes a derivada desse algo. Então
f'(x)=3\cdot \frac{d}{dx}\big(x(4-x^{3})^{1/2}\big).
Agora aplico a regra do produto a u(x)=x e v(x)=(4-x^{3})^{1/2}. Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x(4-x^{3})^{1/2}\big)=\underbrace{\frac{d}{dx}(x)}_{=1}\cdot(4-x^{3})^{1/2}+x\cdot\frac{d}{dx}\big((4-x^{3})^{1/2}\big).
Portanto, até aqui:
f'(x)=3\left[(4-x^{3})^{1/2}+x\cdot\frac{d}{dx}\big((4-x^{3})^{1/2}\big)\right].

Passo 5

Calculo \frac{d}{dx}\big((4-x^{3})^{1/2}\big) usando a regra da cadeia. Seja u(x)=4-x^{3} (a parte interna) e \varphi(u)=u^{1/2} (a parte externa). Então \varphi'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2} e u'(x)=-3x^{2}. Pela cadeia:
\frac{d}{dx}\big((4-x^{3})^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(4-x^{3})^{-1/2}\cdot(-3x^{2}).
Simplificando o fator:
\frac{d}{dx}\big((4-x^{3})^{1/2}\big)=-\frac{3x^{2}}{2}(4-x^{3})^{-1/2}.

Passo 6

Substituo esse resultado em f'(x) do Passo 4:
f'(x)=3\left[(4-x^{3})^{1/2}+x\left(-\frac{3x^{2}}{2}(4-x^{3})^{-1/2}\right)\right].
Faço a multiplicação interna para ficar claro:
f'(x)=3\left[(4-x^{3})^{1/2}-\frac{3x^{3}}{2}(4-x^{3})^{-1/2}\right].

Passo 7

Agora simplifico a expressão combinando em um único denominador. Observe que (4-x^{3})^{1/2}=(4-x^{3})^{1/2} e (4-x^{3})^{-1/2}=1/(4-x^{3})^{1/2}. Coloco tudo sobre o denominador 2(4-x^{3})^{1/2}:
Primeiro termo transformado:
(4-x^{3})^{1/2}=\frac{2(4-x^{3})^{1/2}}{2}=\frac{2(4-x^{3})}{2(4-x^{3})^{1/2}}.
Segundo termo já tem denominador 2(4-x^{3})^{1/2}:
\frac{3x^{3}}{2}(4-x^{3})^{-1/2}=\frac{3x^{3}}{2(4-x^{3})^{1/2}}.
Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=3\left[\frac{2(4-x^{3})}{2(4-x^{3})^{1/2}}-\frac{3x^{3}}{2(4-x^{3})^{1/2}}\right].
Como os dois termos têm o mesmo denominador, junto-os:
f'(x)=3\cdot\frac{2(4-x^{3})-3x^{3}}{2(4-x^{3})^{1/2}}.
Calculo o numerador: 2(4-x^{3})-3x^{3}=8-2x^{3}-3x^{3}=8-5x^{3}. Assim
f'(x)=3\cdot\frac{8-5x^{3}}{2(4-x^{3})^{1/2}}.

Passo 8

Posso deixar a resposta de forma mais enxuta, escrevendo a raiz no denominador:
f'(x)=\frac{3(8-5x^{3})}{2\sqrt{4-x^{3}}}.
Observação sobre domínio da derivada: essa expressão é válida quando \sqrt{4-x^{3}}\neq 0, ou seja quando 4-x^{3}>0 (strict), portanto para x<\sqrt[3]{4}. Em x=\sqrt[3]{4} a derivada, na forma fracionária, tem denominador zero — para analisar esse ponto seria preciso ver a derivada lateral; mas para a maioria das aplicações em prova basta informar que a expressão acima vale para x<\sqrt[3]{4}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3(8-5x^{3})}{2\sqrt{4-x^{3}}}

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