Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma razão entre duas funções trigonométricas.
- Não há valores específicos de
pedidos — quer-se a expressão geral de .
Passo 2
Escolha do método: vou usar a regra do quociente porque
é explicitamente uma fração
. Dá para usar também produto (escrever
) e aplicar regra do produto, mas a regra do quociente aqui leva a uma simplificação muito direta. Vou mostrar os passos com a regra do quociente.
Passo 3
Recordando a regra do quociente. Se
e
são diferenciáveis e
, então
Aqui definimos
Passo 4
Calcular
. Usamos a regra da cadeia: se
então
; para
a função interna é
com derivada
. Portanto
Expliquei: derivada de
é
, aqui
e
.
Passo 5
Calcular
. Use novamente a regra da cadeia para
:
Reconhecendo a identidade trigonométrica
, podemos escrever
Passo 6
Aplicar a regra do quociente substituindo
:
Colocando em evidência
no numerador:
Passo 7
Simplificar o parêntese usando a identidade
. Substituindo:
Logo o numerador fica
e
Passo 8
Deixar a resposta numa forma mais habitual usando identidades trigonométricas. Como
, obtemos
Agora escrevendo em termos de
e
(úteis em muitos contextos):
Ambas as formas são equivalentes e simples de usar na prova.
Passo 9
Resumo final e incentivo: encontramos uma expressão limpa para a derivada e mostrei como usar regra do quociente e identidades trigonométricas para simplificar. Vai dar certo na prova — respira e confia no passo a passo que você aprendeu agora!