Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\cos (2 x)}{\cos ^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{\cos(2x)}{\cos^{2}(x)}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão entre duas funções trigonométricas.
  • Não há valores específicos de x pedidos — quer-se a expressão geral de f'(x).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a regra do quociente porque f é explicitamente uma fração u(x)/v(x). Dá para usar também produto (escrever f=\cos(2x)\operatorname{sec}^2 x) e aplicar regra do produto, mas a regra do quociente aqui leva a uma simplificação muito direta. Vou mostrar os passos com a regra do quociente.

Passo 3

Recordando a regra do quociente. Se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui definimos
u(x)=\cos(2x),\qquad v(x)=\cos^{2}(x).

Passo 4

Calcular u'(x). Usamos a regra da cadeia: se g(x)=\cos(x) então g'(x)=-\sin(x); para \cos(2x) a função interna é 2x com derivada 2. Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(2x)=-\sin(2x)\cdot 2=-2\sin(2x).
Expliquei: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u', aqui u=2x e u'=2.

Passo 5

Calcular v'(x). Use novamente a regra da cadeia para v(x)=\cos^{2}(x):
v'(x)=2\cos(x)\cdot\frac{d}{dx}\cos(x)=2\cos(x)\cdot(-\sin(x))=-2\sin(x)\cos(x).
Reconhecendo a identidade trigonométrica \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), podemos escrever
v'(x)=-\sin(2x).

Passo 6

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{(-2\sin(2x))\cos^{2}(x)-\cos(2x)\cdot(-\sin(2x))}{\cos^{4}(x)}.
Colocando em evidência \sin(2x) no numerador:
f'(x)=\frac{\sin(2x)\bigl(-2\cos^{2}(x)+\cos(2x)\bigr)}{\cos^{4}(x)}.

Passo 7

Simplificar o parêntese usando a identidade \cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1. Substituindo:
-2\cos^{2}(x)+\cos(2x)=-2\cos^{2}(x)+\bigl(2\cos^{2}(x)-1\bigr)=-1.
Logo o numerador fica -\sin(2x) e
f'(x)=\frac{-\sin(2x)}{\cos^{4}(x)}.

Passo 8

Deixar a resposta numa forma mais habitual usando identidades trigonométricas. Como \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), obtemos
f'(x)=-\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^{4}(x)}=-\frac{2\sin(x)}{\cos^{3}(x)}.
Agora escrevendo em termos de \tan e \operatorname{sec} (úteis em muitos contextos):
f'(x)=-2\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot\frac{1}{\cos^{2}(x)}=-2\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x).
Ambas as formas são equivalentes e simples de usar na prova.

Passo 9

Resumo final e incentivo: encontramos uma expressão limpa para a derivada e mostrei como usar regra do quociente e identidades trigonométricas para simplificar. Vai dar certo na prova — respira e confia no passo a passo que você aprendeu agora!

Resposta

f'(x)=-2\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)

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