Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{-3 x}{\sqrt[3]{4 x+1}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{-3x}{\sqrt[3]{4x+1}}
e pede para encontrar a sua derivada f'(x). As informações relevantes são: o numerador é -3x e o denominador é a raiz cúbica de 4x+1.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função usando potências, porque isso facilita a diferenciação. Lembre que \sqrt[3]{4x+1}=(4x+1)^{1/3}, portanto
f(x)=-3x\,(4x+1)^{-1/3}.
Essa é a mesma função, só escrita como produto de duas funções mais simples.

Passo 3

Vou usar a regra do produto para derivar, porque f está escrita como produto de u(x)=-3x por v(x)=(4x+1)^{-1/3}. A regra do produto diz:
\text{Se }F(x)=u(x)v(x)\text{, então }F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).ã
Exemplo rápido (mini-aula): se u(x)=x^2 e v(x)=\sin x, então (uv)'=2x\sin x + x^2\cos x.

Passo 4

Identifico as funções e calculo u'(x):
u(x)=-3x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=-3.
Isso é direto: a derivada de ax é a.

Passo 5

Agora preciso de v'(x) com
v(x)=(4x+1)^{-1/3}.
Aqui uso a regra da cadeia combinada com a regra da potência. A regra da potência (quando a base é uma função g(x)) é:
\frac{d}{dx}\big(g(x)^n\big)=n\,g(x)^{\,n-1}\,g'(x).
Aplicando com g(x)=4x+1 e n=-\tfrac{1}{3}:
v'(x)=-\tfrac{1}{3}(4x+1)^{-4/3}\cdot (4x+1)'.
E (4x+1)'=4, logo
v'(x)=-\tfrac{1}{3}\cdot 4\,(4x+1)^{-4/3}=-\tfrac{4}{3}(4x+1)^{-4/3}.

Passo 6

Aplico a regra do produto f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Substituindo u',u,v':
f'(x)=(-3)\,(4x+1)^{-1/3}+(-3x)\left(-\tfrac{4}{3}(4x+1)^{-4/3}\right).

Passo 7

Simplifico termo a termo. No segundo termo, (-3x)\left(-\tfrac{4}{3}\right)=4x. Assim
f'(x)=-3(4x+1)^{-1/3}+4x(4x+1)^{-4/3}.
Para somar os termos, fatoro o menor expoente comum (4x+1)^{-4/3}. Note que
(4x+1)^{-1/3}=(4x+1)^{1}\,(4x+1)^{-4/3}=(4x+1)\,(4x+1)^{-4/3}.
Portanto
f'(x)=(4x+1)^{-4/3}\big(-3(4x+1)+4x\big).

Passo 8

Calculo o interior do parêntese:
-3(4x+1)+4x=-12x-3+4x=-8x-3.
Logo
f'(x)=(4x+1)^{-4/3}(-8x-3)=-\frac{8x+3}{(4x+1)^{4/3}}.

Resposta

\displaystyle -\frac{8x+3}{(4x+1)^{4/3}}

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