Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(\frac{3 x+4}{6 x-7}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\left(\dfrac{3x+4}{6x-7}\right)^{3}.
Informações relevantes:
  • A função é composta: uma potência de expoente 3 aplicada a uma razão \dfrac{3x+4}{6x-7}.
  • Domínio: x\neq\dfrac{7}{6} (porque 6x-7 não pode ser zero).
    O objetivo é calcular f'(x).

Passo 2

Escolha do método e fórmula usada (explicação didática):
  • Usaremos a regra da cadeia porque f é composição de g(u)=u^{3} com u(x)=\dfrac{3x+4}{6x-7}. A regra da cadeia afirma que, para f(x)=g(u(x)), vale
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
  • Para g(u)=u^{3} temos g'(u)=3u^{2}. Então precisamos de u'(x).
  • Para derivar u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com p(x)=3x+4 e q(x)=6x-7 usaremos a regra do quociente: se u=\dfrac{p}{q} então
u'=\frac{p' q - p q'}{q^{2}}.
Aqui p'(x) é a derivada de p e q'(x) é a derivada de q.

Passo 3

Calcular u'(x) passo a passo aplicando a regra do quociente:
Defina p(x)=3x+4 e q(x)=6x-7. Então
p'(x)=3,\qquad q'(x)=6.
Pela regra do quociente,
u'(x)=\frac{p'(x)\,q(x)-p(x)\,q'(x)}{q(x)^{2}} =\frac{3(6x-7)-(3x+4)\cdot 6}{(6x-7)^{2}}.
Agora desenvolve o numerador com calma:
3(6x-7)=18x-21, \qquad (3x+4)\cdot 6=18x+24.
Subtraindo:
18x-21-(18x+24)=18x-21-18x-24=-45.
Portanto
u'(x)=\frac{-45}{(6x-7)^{2}}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia e simplificar:
Pela regra da cadeia f'(x)=3\,u(x)^{2}\,u'(x). Substituindo u(x)=\dfrac{3x+4}{6x-7} e u'(x) obtido:
f'(x)=3\left(\frac{3x+4}{6x-7}\right)^{2}\cdot\frac{-45}{(6x-7)^{2}}.
Multiplicando constantes e simplificando as potências do denominador:
3\cdot(-45)=-135,
e
\left(\frac{3x+4}{6x-7}\right)^{2}\cdot\frac{1}{(6x-7)^{2}} =\frac{(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{4}}.
Logo a expressão simplificada da derivada é
f'(x)=-135\,\frac{(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{4}},
com x\neq\dfrac{7}{6}.

Resposta

f'(x)=-135\,\frac{(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{4}}

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