Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(2 x^{2}-3 x+1\right)^{2}(3 x+2)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\left(2 x^{2}-3 x+1\right)^{2}(3 x+2)^{4}.
Informações dadas:
  • A função é um produto de duas funções: u(x)=\left(2 x^{2}-3 x+1\right)^{2} e v(x)=(3 x+2)^{4}.
  • O objetivo é calcular f'(x).

Passo 2

Vou escolher o método: como f é produto de u e v, uso a regra do produto. Explico a regra do produto de um jeito simples e prático:
Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derive cada fator separadamente (mantendo o outro), e some os dois resultados.

Passo 3

Agora preciso das derivadas u'(x) e v'(x). Cada uma é potência de uma função — aqui usamos a regra da cadeia.
Regra da cadeia para potências: se w(x)=[g(x)]^{n} com n constante, então
w'(x)=n\,[g(x)]^{\,n-1}\cdot g'(x).
Ou seja: desce o expoente n, multiplica pela mesma base com expoente reduzido em 1, e multiplica pela derivada da função interna g'(x).
Aplicando isso a u e v:
  • Para u(x)=\left(2 x^{2}-3 x+1\right)^{2} temos g_1(x)=2 x^{2}-3 x+1 e n=2.
    Primeiro calcule g_1'(x). Derivando termo a termo:
    g_1'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2 x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(3 x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)=2\cdot 2 x - 3 + 0=4 x-3.
    Agora aplique a regra da cadeia:
    u'(x)=2\left(2 x^{2}-3 x+1\right)^{1}\cdot(4 x-3)=2(2 x^{2}-3 x+1)(4 x-3).
  • Para v(x)=(3 x+2)^{4} temos g_2(x)=3 x+2 e n=4.
    Primeiro g_2'(x)=\frac{d}{dx}(3 x+2)=3.
    Aplicando a regra da cadeia:
    v'(x)=4(3 x+2)^{3}\cdot 3=12(3 x+2)^{3}.

Passo 4

Agora aplico a regra do produto f'(x)=u'v+uv'. Substituindo u',u,v' que calculei:
f'(x)=\bigl[2(2 x^{2}-3 x+1)(4 x-3)\bigr]\cdot(3 x+2)^{4}+\bigl(2 x^{2}-3 x+1\bigr)^{2}\cdot\bigl[12(3 x+2)^{3}\bigr].

Passo 5

Vamos fatorar para simplificar e deixar a resposta em forma mais compacta — isso ajuda na prova porque evita expansion full e mostra domínio das técnicas.
Observando os dois termos, o fator comum de menor potência em cada fator é:
  • em \left(2 x^{2}-3 x+1\right): aparece no primeiro termo com potência 1 e no segundo com potência 2 → fator comum \left(2 x^{2}-3 x+1\right)^{1}.
  • em (3 x+2): aparece com potência 4 no primeiro termo e com potência 3 no segundo → fator comum (3 x+2)^{3}.
    Podemos também notar fator numérico comum 2 (mas vou fatorar passo a passo dentro do colchete).
Fatorando \left(2 x^{2}-3 x+1\right)(3 x+2)^{3} em evidência:
f'(x)=\left(2 x^{2}-3 x+1\right)(3 x+2)^{3}\Bigl[2(4 x-3)(3 x+2)+12(2 x^{2}-3 x+1)\Bigr].

Passo 6

Agora simplifico o conteúdo do colchete. Primeiro expando 2(4 x-3)(3 x+2):
(4 x-3)(3 x+2)=12 x^{2}+8 x-9 x-6=12 x^{2}-x-6,
portanto
2(4 x-3)(3 x+2)=2(12 x^{2}-x-6)=24 x^{2}-2 x-12.
Em seguida 12(2 x^{2}-3 x+1)=24 x^{2}-36 x+12.
Somando os dois:
24 x^{2}-2 x-12 + 24 x^{2}-36 x+12 = 48 x^{2}-38 x.
Note que as constantes se cancelaram: -12+12=0.
Logo o colchete resulta em 48 x^{2}-38 x. Substituindo:
f'(x)=\left(2 x^{2}-3 x+1\right)(3 x+2)^{3}\bigl(48 x^{2}-38 x\bigr).

Passo 7

Podemos ainda fatorar um fator comum em 48 x^{2}-38 x: ambos os termos têm 2x em comum:
48 x^{2}-38 x = 2x(24 x-19).
Substituindo isso na expressão final:
f'(x)=2x(24 x-19)\bigl(2 x^{2}-3 x+1\bigr)(3 x+2)^{3}.
Esta é uma forma totalmente fatorada e simples de memorizar/usar na prova.

Resposta

f'(x)=2x(24 x-19)\bigl(2 x^{2}-3 x+1\bigr)(3 x+2)^{3}

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