Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função é um produto de duas funções:
e . - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Vou escolher o método: como
é produto de
e
, uso a regra do produto. Explico a regra do produto de um jeito simples e prático:
Regra do produto: se
, então
Isto significa: derive cada fator separadamente (mantendo o outro), e some os dois resultados.
Passo 3
Agora preciso das derivadas
e
. Cada uma é potência de uma função — aqui usamos a regra da cadeia.
Regra da cadeia para potências: se
com
constante, então
Ou seja: desce o expoente
, multiplica pela mesma base com expoente reduzido em
, e multiplica pela derivada da função interna
.
Aplicando isso a
e
:
-
Para
temos e .
Primeiro calcule. Derivando termo a termo: Agora aplique a regra da cadeia: -
Para
temos e .
Primeiro.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora aplico a regra do produto
. Substituindo
que calculei:
Passo 5
Vamos fatorar para simplificar e deixar a resposta em forma mais compacta — isso ajuda na prova porque evita expansion full e mostra domínio das técnicas.
Observando os dois termos, o fator comum de menor potência em cada fator é:
- em
: aparece no primeiro termo com potência e no segundo com potência → fator comum . - em
: aparece com potência no primeiro termo e com potência no segundo → fator comum .
Podemos também notar fator numérico comum(mas vou fatorar passo a passo dentro do colchete).
Fatorando
em evidência:
Passo 6
Agora simplifico o conteúdo do colchete. Primeiro expando
:
portanto
Em seguida
Somando os dois:
Note que as constantes se cancelaram:
.
Logo o colchete resulta em
. Substituindo:
Passo 7
Podemos ainda fatorar um fator comum em
: ambos os termos têm
em comum:
Substituindo isso na expressão final:
Esta é uma forma totalmente fatorada e simples de memorizar/usar na prova.