Exercício 16: Determine o aumento percentual na transferência de calor associado à fixação de aletas, com condutividade térmica de 240 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), de perfil retangular a uma parede plana. As aletas têm 50 mm de comprimento; 0,5 \mathrm{~mm} de espessura e são igualmente espaçadas a uma distância de 4 mm ( 250 aletas / \mathrm{m} ). O coeficiente convectivo associado à parede sem aletas é de 40 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right), enquanto o resultante após a colocação das aletas é de 30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o aumento percentual na transferência de calor quando se fixam aletas retangulares a uma parede plana, dadas as propriedades geométricas e térmicas. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Condutividade térmica das aletas: k = 240\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Comprimento da aleta (saindo da parede): L = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da aleta: t = 0{,}5\\ \mathrm{mm} = 5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Espaçamento entre aletas: s = 4\\ \mathrm{mm} = 0{,}004\\ \mathrm{m}.
  • Número de aletas por metro (dado): N = 250\\ \text{aletas/m} (confere com 1/s).
  • Coeficiente convectivo da parede sem aletas: h_{\text{sem}} = 40\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Coeficiente convectivo local após colocação das aletas: h = 30\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
O objetivo é comparar a transferência de calor total da superfície sem aletas com a transferência de calor total após a colocação das aletas (considerando as aletas + a área de parede exposta entre elas) e reportar o aumento percentual.

Passo 2

Estratégia de cálculo (breve indicação do que vou computar, sem desenvolver ainda):
  • Calcular a taxa de calor por unidade de projeção (por 1\\ \mathrm{m}^{2} de área projetada) para a parede lisa: Q_{\text{sem}}.
  • Calcular a contribuição das aletas: taxa de calor por aleta q_f (por unidade de comprimento em profundidade, tomamos 1\\ \mathrm{m} de profundidade) e multiplicar por N (aletas por metro).
  • Calcular a contribuição da área de parede exposta entre as aletas.
  • Somar contribuições para obter Q_{\text{com}}.
  • Calcular aumento percentual \displaystyle \frac{Q_{\text{com}}-Q_{\text{sem}}}{Q_{\text{sem}}}\times100\%.
Vou assumir que a diferença de temperatura entre base (parede) e fluido \Delta T = T_{\text{base}}-T_{\infty} é a mesma nos dois casos (cancela no final porque se trata de aumento percentual). Também assumirei que o coeficiente convectivo após a instalação vale h=30\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} para as superfícies novas (faces das aletas e as regiões de parede expostas), conforme o enunciado.

Passo 3

Relembrando a teoria das aletas retangulares (didática):
  • Para uma aleta plana retangular (espessura t, profundidade unitária 1\\ \mathrm{m}, comprimento L), define-se o parâmetro m por
m = \sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}},
onde P é o perímetro da seção transversal exposto à convecção (por unidade de profundidade) e A_c é a área da seção transversal (por unidade de profundidade) que conduz calor.
  • Para uma aleta fina e larga (profundidade =1\\ \mathrm{m} e espessura t\ll1), a face grande em contato com o fluido são duas faces (frente e costas). Assim, por unidade de profundidade:
P \approx 2\quad\text{(m)},\qquad A_c = t\quad\text{(m}^2\text{, por m de profundidade)}.
Logo
m = \sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
  • A taxa de calor transferida por uma aleta (aproximação com ponta isolada, que é aceitável se a convecção na ponta for pequena em relação às faces; para fins práticos aqui é boa aproximação) é
q_f = \sqrt{h P k A_c}\,\operatorname{tanh}(mL)\,\Delta T.
Explicando cada termo:
  • \sqrt{h P k A_c} tem dimensão de potência por temperatura (W/K) e representa a combinação da resistência ao calor por condução na aleta e à convecção nas suas faces;
  • \operatorname{tanh}(mL) captura o efeito do comprimento: se mL\gg1, aleta saturada e \operatorname{tanh}(mL)\to1; se mL\ll1, aleta curta e \operatorname{tanh}(mL)\approx mL.
  • Essas fórmulas são padrões em transferência de calor por aletas; aqui tudo é por unidade de profundidade 1\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular m numericamente com os valores dados (uso h=30\\ \mathrm{W/(m^2K)}, k=240\\ \mathrm{W/(mK)}, t=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}):
m = \sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 30}{240\cdot(5{,}0\times10^{-4})}}.
Calculo passo a passo:
k\,t = 240\cdot 5{,}0\times10^{-4} = 240\cdot 0{,}0005 = 0{,}12.
\dfrac{2h}{k\,t} = \dfrac{60}{0{,}12} = 500.
m = \sqrt{500} \approx 22{,}3607\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora mL:
mL = 22{,}3607\cdot 0{,}05 \approx 1{,}1180.
Calcular \operatorname{tanh}(mL). Pode-se usar a definição hiperbólica ou uma aproximação numérica:
\operatorname{tanh}(1{,}1180)\approx 0{,}8069.

Passo 5

Calcular o fator \sqrt{h P k A_c}. Com P\approx 2 e A_c = t = 5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2} (por m de profundidade):
h P k A_c = 30\cdot 2\cdot 240\cdot 5{,}0\times10^{-4}.
Passo a passo:
240\cdot 5{,}0\times10^{-4} = 0{,}12\quad(\text{já calculado}),á
30\cdot 2\cdot 0{,}12 = 60\cdot 0{,}12 = 7{,}2.
\sqrt{hPkA_c} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}6833\\ \mathrm{W/K}.
Então a taxa de calor por aleta (por unidade de profundidade 1\\ \mathrm{m}) é
q_f = 2{,}6833\cdot \operatorname{tanh}(mL)\cdot \Delta T \approx 2{,}6833\cdot 0{,}8069\cdot\Delta T \approx 2{,}166\\ \Delta T\quad(\mathrm{W}),
ou seja, cada aleta troca aproximadamente 2{,}166\\ \Delta T watts por metro de profundidade, onde \Delta T é em K (ou °C).

Passo 6

Calcular a contribuição total das aletas por metro de largura (usar N=250 aletas por metro):
Q_{\text{aletas}} = N \, q_f = 250\cdot 2{,}166\\ \Delta T \approx 541{,}5\\ \Delta T\quad(\mathrm{W}).

Passo 7

Calcular a contribuição da parede exposta entre as aletas:
  • Cada espaço entre aletas tem largura s - t = 0{,}004 - 0{,}0005 = 0{,}0035\\ \mathrm{m}.
  • Há 250 espaços por metro, então a área total da parede exposta por metro de profundidade é
A_{\text{parede,exp}} = 250\cdot 0{,}0035\cdot 1 = 0{,}875\\ \mathrm{m^2}.
  • Com o coeficiente h=30, a taxa de calor da área de parede exposta é
Q_{\text{parede,exp}} = h\,A_{\text{parede,exp}}\,\Delta T = 30\cdot 0{,}875\cdot\Delta T = 26{,}25\\ \Delta T\quad(\mathrm{W}).
Observação: a área da parede coberta pelas bases das aletas (soma das larguras t) é 250\cdot t = 250\cdot 0{,}0005 = 0{,}125\\ \mathrm{m^2} — essa área fica coberta (não participa diretamente da convecção porque está em contato com a base da aleta).

Passo 8

Somar contribuições para obter a transferência total após a colocação das aletas (por metro de largura, por unidade de profundidade 1\\ \mathrm{m}):
Q_{\text{com}} = Q_{\text{aletas}} + Q_{\text{parede,exp}} = (541{,}5 + 26{,}25)\,\Delta T = 567{,}75\\ \Delta T\quad(\mathrm{W}).

Passo 9

Taxa de calor da parede sem aletas (mesma área projetada 1\\ \mathrm{m^2}, por metro de profundidade):
Q_{\text{sem}} = h_{\text{sem}}\times 1\\ \mathrm{m^2}\times \Delta T = 40\cdot 1\cdot \Delta T = 40\\ \Delta T\quad(\mathrm{W}).

Passo 10

Calcular o aumento percentual:
\text{Aumento percentual} = \dfrac{Q_{\text{com}}-Q_{\text{sem}}}{Q_{\text{sem}}}\times 100\% = \dfrac{567{,}75\Delta T - 40\Delta T}{40\Delta T}\times 100\%.
Cancelando \Delta T:
\text{Aumento percentual} = \dfrac{567{,}75 - 40}{40}\times 100\% = \dfrac{527{,}75}{40}\times 100\% \approx 1319{,}375\%.
Arredondando a um número com uma casa decimal ou duas, por clareza: 1319{,}4\% (aproximadamente).

Passo 11

Interpretação curta (empática e prática): mesmo com a redução do coeficiente convectivo local de 40 para 30\\ \mathrm{W/(m^2K)} devido à presença das aletas, a grande área adicional fornecida pelas faces das aletas gera um aumento muito grande na transferência de calor — aqui mais de um fator 13 no fluxo térmico total por unidade de projeção.

Resposta

1319,4%

Exercícios relacionados