Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}-1\right)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\dfrac{x}{\left(x^{2}-1\right)^{4}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para x\neq \pm 1 (pois \left(x^{2}-1\right)^{4}=0 quando x=\pm1).
  • Objetivo: calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Escolha do método: vou reescrever a função como um produto e usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia.
Por que isso? Porque f(x) é x multiplicado por \left(x^{2}-1\right)^{-4}; usar produto + cadeia é direto e barato em trabalho comparado à regra do quociente. (A regra do quociente daria o mesmo resultado, mas envolveria frações mais longas.)

Passo 3

Reescrevendo a função como produto:
f(x)=x\left(x^{2}-1\right)^{-4}
Aqui tenho claramente um produto de duas funções: u(x)=x e v(x)=\left(x^{2}-1\right)^{-4}.

Passo 4

Apresentando a regra do produto (fórmula) e explicando o que cada símbolo significa:
\text{Se }u(x)\text{ e }v(x)\text{ são diferenciáveis, então }(u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'.ãáã
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
  • A regra diz que a derivada do produto é a soma de “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo” com “deixar o primeiro e derivar o segundo”.

Passo 5

Calcule u'(x) para u(x)=x:
u'(x)=1.
Explicação: a derivada de x em relação a x é 1.

Passo 6

Apresentando a regra da cadeia e a regra da potência (as duas serão usadas para v):
\text{Regra da potência: } \frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.ê
\text{Regra da cadeia: se }v(x)=g(h(x))\text{ então }v'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).ã
Explicação: para derivar uma composição g(h(x)), derivamos g em relação ao argumento e multiplicamos pela derivada de h.

Passo 7

Aplicando regra da cadeia para v(x)=\left(x^{2}-1\right)^{-4}. Tomo g(t)=t^{-4} e h(x)=x^{2}-1.
  • Pela regra da potência, g'(t)=-4\,t^{-5}.
  • Pela diferenciação de h, h'(x)=2x.
    Portanto, pela regra da cadeia:
v'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x) = -4\left(x^{2}-1\right)^{-5}\cdot 2x = -8x\left(x^{2}-1\right)^{-5}.

Passo 8

Agora aplico a regra do produto com u'(x)=1, u(x)=x e v(x),v'(x) calculados:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) = 1\cdot\left(x^{2}-1\right)^{-4} + x\cdot\big(-8x\left(x^{2}-1\right)^{-5}\big).

Passo 9

Simplificação algébrica passo a passo:
  1. Escrevo ambos os termos com o mesmo fator em potência \left(x^{2}-1\right)^{-5}:
\left(x^{2}-1\right)^{-4} = \left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right)^{-5}.
  1. Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right)^{-5} -8x^{2}\left(x^{2}-1\right)^{-5}.
  1. Coloco em evidência \left(x^{2}-1\right)^{-5} e junto os termos do parêntese:
f'(x)=\big((x^{2}-1)-8x^{2}\big)\left(x^{2}-1\right)^{-5} = \big(-7x^{2}-1\big)\left(x^{2}-1\right)^{-5}.
  1. Posso também escrever de forma racional:
f'(x)=-\dfrac{7x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{5}}.
Lembrete: essa expressão é válida para x\neq \pm 1.

Resposta

-\dfrac{7x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{5}}

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