Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para
(pois quando ). - Objetivo: calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Escolha do método: vou reescrever a função como um produto e usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia.
Por que isso? Porque é
multiplicado por
; usar produto + cadeia é direto e barato em trabalho comparado à regra do quociente. (A regra do quociente daria o mesmo resultado, mas envolveria frações mais longas.)
Por que isso? Porque
Passo 3
Reescrevendo a função como produto:
Aqui tenho claramente um produto de duas funções:
e
.
Passo 4
Apresentando a regra do produto (fórmula) e explicando o que cada símbolo significa:
-
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - A regra diz que a derivada do produto é a soma de “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo” com “deixar o primeiro e derivar o segundo”.
Passo 5
Calcule
para
:
Explicação: a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Apresentando a regra da cadeia e a regra da potência (as duas serão usadas para
):
Explicação: para derivar uma composição
, derivamos
em relação ao argumento e multiplicamos pela derivada de
.
Passo 7
Aplicando regra da cadeia para
. Tomo
e
.
- Pela regra da potência,
. - Pela diferenciação de
, .
Portanto, pela regra da cadeia:
Passo 8
Agora aplico a regra do produto com
,
e
calculados:
Passo 9
Simplificação algébrica passo a passo:
- Escrevo ambos os termos com o mesmo fator em potência
:
- Substituindo na expressão de
:
- Coloco em evidência
e junto os termos do parêntese:
- Posso também escrever de forma racional:
Lembrete: essa expressão é válida para
.