Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{4 x^{2}+2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\sqrt{4x^{2}+2x+3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está dada explicitamente por f(x)=\sqrt{4x^{2}+2x+3}.
  • O objetivo é calcular f'(x), a derivada em relação a x.
  • Observação útil (apenas informação): o radicando 4x^{2}+2x+3 é sempre positivo para todo x (discriminante negativo), portanto a raiz está bem definida em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Aprendendo a regra que vamos usar (uma mini-aula):
  • Se tivermos uma função composta F(x)=g(h(x)), a regra da cadeia diz que a derivada é
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui h(x) é a “parte interna” e g(u) é a “parte externa” vista em função de uma variável intermediária u.
  • No caso de uma potência, se g(u)=u^{n}, então
g'(u)=n\,u^{n-1},
onde n é um número (aqui vai ser n=\tfrac{1}{2} para raiz quadrada).
  • Aplicando esses dois fatos para a raiz quadrada: se f(x)=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}, então
f'(x)=\tfrac{1}{2}\,u(x)^{-1/2}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Isso é só a regra da cadeia aplicada à potência 1/2. Cada símbolo significa:
  • u(x) = função interna (dependendo de x),
  • u'(x) = derivada da função interna em relação a x,
  • \sqrt{u(x)} = raiz quadrada da função interna.

Passo 3

Identificar a parte interna e calcular sua derivada:
  • Escolhemos
u(x)=4x^{2}+2x+3.
  • Derivando termo a termo (regra básica: \dfrac{d}{dx}(ax^{2})=2ax, \dfrac{d}{dx}(bx)=b, constante some):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}+2x+3\bigr)=8x+2.

Passo 4

Aplicar a fórmula da cadeia que vimos no Passo 2:
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{8x+2}{2\sqrt{4x^{2}+2x+3}}.

Passo 5

Simplificar a fração:
  • No numerador 8x+2 pode-se fatorar 2: 8x+2=2(4x+1).
  • Cancela-se o 2 com o denominador 2:
f'(x)=\frac{4x+1}{\sqrt{4x^{2}+2x+3}}.
Como já notado no Passo 1, o radicando é sempre positivo (discriminante (2)^{2}-4\cdot4\cdot3=-44<0), então o denominador nunca é zero e essa expressão é válida para todo x.

Resposta

\dfrac{4x+1}{\sqrt{4x^{2}+2x+3}}

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