Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função está dada explicitamente por
. - O objetivo é calcular
, a derivada em relação a . - Observação útil (apenas informação): o radicando
é sempre positivo para todo (discriminante negativo), portanto a raiz está bem definida em todo .
Passo 2
Aprendendo a regra que vamos usar (uma mini-aula):
- Se tivermos uma função composta
, a regra da cadeia diz que a derivada é
Aqui
é a “parte interna” e
é a “parte externa” vista em função de uma variável intermediária
.
- No caso de uma potência, se
, então
onde
é um número (aqui vai ser
para raiz quadrada).
- Aplicando esses dois fatos para a raiz quadrada: se
, então
Isso é só a regra da cadeia aplicada à potência
. Cada símbolo significa:
-
= função interna (dependendo de ), -
= derivada da função interna em relação a , -
= raiz quadrada da função interna.
Passo 3
Identificar a parte interna e calcular sua derivada:
- Escolhemos
- Derivando termo a termo (regra básica:
, , constante some):
Passo 4
Aplicar a fórmula da cadeia que vimos no Passo 2:
Passo 5
Simplificar a fração:
- No numerador
pode-se fatorar : . - Cancela-se o
com o denominador :
Como já notado no Passo 1, o radicando é sempre positivo (discriminante
), então o denominador nunca é zero e essa expressão é válida para todo
.