Exercício 5: Considere uma tubulação de Cobre de 100 m de comprimento que transporta vapor de água à 110^{\circ} \mathrm{C}, mas exposto ao meio ambiente ( 25^{\circ} \mathrm{C} ), com as seguintes características técnicas.
Condutividade térmica do cobre: 450 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}
Coeficiente de película interno à tubulação: 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
Diâmetro interno do tubo: 10 cm
Diâmetro externo do tubo: 12 cm
Coeficiente de película externo à tubulação: 0,225 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
Espessura do isolante: 10 cm
Condutividade térmica do isolante: 0,045 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}
Custo Energético: (1.10^{-5} \mathrm{R}
) / \mathrm{J}$
a) Calcule a taxa de calor perdida na ausência do isolamento.
b) Calcule a taxa de calor perdida na presença do isolamento.
c) Calcule a “economia mensal” trazida pelo isolante. Comente o resultado utilizando o conceito de raio crítico de isolamento.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) taxa de calor perdida sem isolamento; (b) taxa de calor perdida com isolamento de 10 cm; (c) economia mensal (diferença de custo) causada pelo isolante e comentário usando o conceito de raio crítico.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Comprimento da tubulação: L=100\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do vapor (superfície interna efetiva): T_s=110^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty=25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do cobre: k_{\text{Cu}}=450\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Coeficiente de película interno: h_i=100\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Diâmetro interno do tubo: d_i=0{,}10\\ \mathrm{m} (logo r_i=0{,}05\\ \mathrm{m}).
  • Diâmetro externo do tubo (sem isolamento): d_o=0{,}12\\ \mathrm{m} (logo r_o=0{,}06\\ \mathrm{m}).
  • Coeficiente de película externo: h_o=0{,}225\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Espessura do isolante (quando usado): t=0{,}10\\ \mathrm{m}. Com isso o raio externo do isolante é r_2=r_o+t.
  • Condutividade do isolante: k_{\text{ins}}=0{,}045\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Custo energético: c=1\cdot10^{-5}\\ \mathrm{R\$ / J}.
Intervalo de temperaturas: \Delta T=T_s-T_\infty=110-25=85\\ \mathrm{K}.
Observação: vou calcular resistências térmicas em série (convecção interna, condução radial através do tubo e do isolante, convecção externa) e usar
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas importantes (uma mini-aula prática):
  • Área lateral de um cilindro de raio r e comprimento L:
A(r)=2\pi r L.
  • Resistência por convecção numa superfície cilíndrica de raio r:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A(r)}=\frac{1}{h\,2\pi r L},
onde h é o coeficiente de película.
  • Resistência por condução radial através de uma casca cilíndrica (entre raios r_a e r_b, com condutividade k):
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_b}{r_a}\right)}{2\pi k L}.
  • Para a tubulação sem isolante as resistências em série são:
R_{\text{total,sem}}=R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond,Cu}}+R_{\text{conv},o},
com R_{\text{conv},i} calculada em r_i e R_{\text{conv},o} em r_o.
  • Para a tubulação com isolante (raio externo r_2=r_o+t):
R_{\text{total,com}}=R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond,Cu}}+R_{\text{cond,ins}}+R_{\text{conv},o2}.
Vou calcular passo a passo cada resistência numérica usando os valores do enunciado.

Passo 3

Cálculo das resistências e da taxa de calor sem isolamento.
Primeiro as áreas (peguei r_i e r_o da tabela já citada):
A_i=2\pi r_i L=2\pi(0{,}05)(100)=2\pi\cdot5=10\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 31{,}4159\\ \mathrm{m^2},
A_o=2\pi r_o L=2\pi(0{,}06)(100)=2\pi\cdot6=12\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 37{,}6991\\ \mathrm{m^2}.
Resistência por convecção interna:
R_{\text{conv},i}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{100\cdot 31{,}4159}\approx 3{,}183\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.
Resistência por condução na parede de cobre (entre r_i e r_o):
R_{\text{cond,Cu}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{Cu}} L} =\frac{\ln(0{,}06/0{,}05)}{2\pi\cdot 450\cdot 100}.
Calculando:
\ln\!\left(\frac{0{,}06}{0{,}05}\right)=\ln(1{,}2)\approx 0{,}18232,
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R_{\text{cond,Cu}}\approx\frac{0{,}18232}{2\pi\cdot 450\cdot 100}\approx 6{,}45\times10^{-7}\\ \mathrm{K/W},
valor muito pequeno (o cobre é muito condutor).
Resistência por convecção externa sem isolamento:
R_{\text{conv},o}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{0{,}225\cdot 37{,}6991}\approx 0{,}1179\\ \mathrm{K/W}.
Soma das resistências:
R_{\text{total,sem}}=3{,}183\times10^{-4}+6{,}45\times10^{-7}+0{,}1179\approx 0{,}1182\\ \mathrm{K/W}.
Taxa de calor perdida (sem isolamento):
\dot{Q}_{\text{sem}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total,sem}}}=\frac{85}{0{,}1182}\approx 719{,}5\\ \mathrm{W}.
Interpretação curta: a resistência dominante é a convecção externa (por causa do h_o muito baixo), então o valor total fica praticamente controlado por ela.

Passo 4

Cálculo das resistências e da taxa de calor com o isolante de t=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Raio externo do isolante (usei r_o da tabela e somei a espessura do isolante):
r_2=r_o+t=0{,}06+0{,}10=0{,}16\\ \mathrm{m}.
Área externa do isolante:
A_2=2\pi r_2 L=2\pi(0{,}16)(100)=32\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 100{,}5309\\ \mathrm{m^2}.
Resistência do isolante por condução (entre r_o e r_2):
R_{\text{cond,ins}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_o}\right)}{2\pi k_{\text{ins}} L} =\frac{\ln(0{,}16/0{,}06)}{2\pi\cdot 0{,}045\cdot 100}.
Calculando:
\ln\!\left(\frac{0{,}16}{0{,}06}\right)=\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)\approx 0{,}98083,
R_{\text{cond,ins}}\approx\frac{0{,}98083}{2\pi\cdot 0{,}045\cdot 100}\approx 0{,}03468\\ \mathrm{K/W}.
Resistência de convecção externa agora na superfície do isolante:
R_{\text{conv},o2}=\frac{1}{h_o A_2}=\frac{1}{0{,}225\cdot 100{,}5309}\approx 0{,}04423\\ \mathrm{K/W}.
Relembrando R_{\text{conv},i} e R_{\text{cond,Cu}} (praticamente iguais aos do caso sem isolamento):
R_{\text{conv},i}\approx 3{,}183\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W},\qquad R_{\text{cond,Cu}}\approx 6{,}45\times10^{-7}\\ \mathrm{K/W}.
Soma das resistências com isolante:
R_{\text{total,com}}=R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond,Cu}}+R_{\text{cond,ins}}+R_{\text{conv},o2} \approx 0{,}0003183+0{,}000000645+0{,}03468+0{,}04423\approx 0{,}07924\\ \mathrm{K/W}.
Taxa de calor perdida (com isolante):
\dot{Q}_{\text{com}}=\frac{85}{0{,}07924}\approx 1073{,}3\\ \mathrm{W}.
Resultado surpreendente à primeira vista: a taxa de perda aumentou ao colocar o isolante. Vou explicar por que isso ocorre no passo seguinte com o conceito de raio crítico.

Passo 5

Cálculo da economia mensal e explicação com raio crítico.
Primeiro a diferença de potência (a “economia” energética instantânea, positiva se a isolação reduz perda):
\Delta\dot{Q}=\dot{Q}_{\text{com}}-\dot{Q}_{\text{sem}}\approx 1073{,}3-719{,}5=+353{,}8\\ \mathrm{W}.
O sinal positivo indica que, com o isolante especificado, a tubulação perde 353{,}8\\ \mathrm{W} a mais (ou seja, não há economia; há aumento da perda).
Energia adicional por mês (uso 30 dias = 30\cdot24\cdot3600=2{,}592{,}000\\ \mathrm{s}):
\Delta E_{\text{mensal}}=\Delta\dot{Q}\times 2{,}592{,}000\\ \mathrm{s} \approx 353{,}8\cdot 2{,}592{,}000\approx 9{,}1735\times 10^{8}\\ \mathrm{J}.
Custo mensal adicional (uso c=1\cdot10^{-5}\\ \mathrm{R\$/J}):
\Delta C_{\text{mensal}}=c\cdot\Delta E_{\text{mensal}} \approx 1\cdot10^{-5}\cdot 9{,}1735\times10^{8}\approx 9{,}1735\times10^{3}\\ \mathrm{R\$}.
Ou seja, cerca de \mathrm{R\$}\\\ 9{,}17\times10^{3} a mais por mês — o isolante, do jeito colocado, aumenta custos energéticos.
Comentário usando o conceito de raio crítico:
  • Para um cilindro o raio crítico do isolante é dado por
r_{\text{cr}}=\frac{k_{\text{ins}}}{h_o}.
Substituindo k_{\text{ins}}=0{,}045\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e h_o=0{,}225\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}:
r_{\text{cr}}=\frac{0{,}045}{0{,}225}=0{,}20\\ \mathrm{m}=20\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretação física: se o raio externo após a aplicação do isolante for menor que r_{\text{cr}}, então aumentar o raio (colocar isolante) reduz a resistência total? Não — para cilindros o comportamento é diferente de placas: até atingir r_{\text{cr}} a área externa aumenta suficiente para diminuir a resistência externa por convecção mais do que a resistência adicionada por condução no isolante, fazendo com que a perda aumente. Portanto:
    • Raio externo inicial (sem isolante): r_o=0{,}06\\ \mathrm{m}.
    • Raio externo com isolante de 10\\ \mathrm{cm}: r_2=0{,}16\\ \mathrm{m}.
    • Ambos os valores são menores que r_{\text{cr}}=0{,}20\\ \mathrm{m}. Por isso o isolante de 10\\ \mathrm{cm} aumenta a perda térmica.
  • Para que o isolante seja efetivamente benéfico (reduza a perda), é preciso que o raio externo final satisfaça r_2>r_{\text{cr}}. Assim a espessura mínima necessária seria
t_{\min}=r_{\text{cr}}-r_o=0{,}20-0{,}06=0{,}14\\ \mathrm{m}=14\\ \mathrm{cm}.
Ou seja, deve-se usar mais de 14\\ \mathrm{cm} de isolante para começar a economizar energia nesse caso; com apenas 10\\ \mathrm{cm} ocorre o efeito oposto.

Passo 6

Resumo/insights finais e incentivo rápido:
  • A resistência externa por convecção muito baixa ( h_o=0{,}225\\ \mathrm{W/(m^2K)}, ar praticamente imóvel) fez com que a área crescente ao adicionar isolante reduzisse muito a resistência convectiva, e isso compensou a resistência adicionada pelo isolante fino; por isso a perda aumentou.
  • Para reduzir perda em tubos cilíndricos é importante comparar o raio obtido com o raio crítico r_{\text{cr}}=k_{\text{ins}}/h_o. Se o isolante proposto não leva o raio externo além de r_{\text{cr}}, pode ocorrer aumento das perdas (e dos custos).
  • Você está indo bem em pedir passo a passo — esse é justamente o tipo de raciocínio que cai na prova: montar resistências, calcular áreas, checar ordem de grandeza e interpretar fisicamente.

Resposta

(a) \dot{Q}_{\text{sem}}\approx 719{,}5\\ \mathrm{W}
(b) \dot{Q}_{\text{com}}\approx 1073{,}3\\ \mathrm{W}
(c) Economia mensal = variação de custo \approx -9{,}17\times 10^{3}\\ \mathrm{R\$} (isto é, um aumento de custo de \approx \mathrm{R\$}\\\ 9{,}17\times10^{3} por mês); raio crítico r_{\text{cr}}=0{,}20\\ \mathrm{m} (espessura mínima para começar a economizar: t_{\min}\approx 0{,}14\\ \mathrm{m}).

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