Exercício 5: Considere uma tubulação de Cobre de 100 m de comprimento que transporta vapor de água à
, mas exposto ao meio ambiente (
), com as seguintes características técnicas.
Condutividade térmica do cobre:
Coeficiente de película interno à tubulação:
Diâmetro interno do tubo:
10 cm
Diâmetro externo do tubo:
12 cm
Coeficiente de película externo à tubulação:
Espessura do isolante:
10 cm
Condutividade térmica do isolante:
Custo Energético:
(1.10^{-5} \mathrm{R}
) / \mathrm{J}$
a) Calcule a taxa de calor perdida na ausência do isolamento.
b) Calcule a taxa de calor perdida na presença do isolamento.
c) Calcule a “economia mensal” trazida pelo isolante. Comente o resultado utilizando o conceito de raio crítico de isolamento.
| Condutividade térmica do cobre: |
|
| Coeficiente de película interno à tubulação: |
|
| Diâmetro interno do tubo: | 10 cm |
| Diâmetro externo do tubo: | 12 cm |
| Coeficiente de película externo à tubulação: |
|
| Espessura do isolante: | 10 cm |
| Condutividade térmica do isolante: |
|
| Custo Energético: | (1.10^{-5} \mathrm{R} |
| ) / \mathrm{J}$ |
b) Calcule a taxa de calor perdida na presença do isolamento.
c) Calcule a “economia mensal” trazida pelo isolante. Comente o resultado utilizando o conceito de raio crítico de isolamento.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) taxa de calor perdida sem isolamento; (b) taxa de calor perdida com isolamento de 10 cm; (c) economia mensal (diferença de custo) causada pelo isolante e comentário usando o conceito de raio crítico.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Comprimento da tubulação:
. - Temperatura do vapor (superfície interna efetiva):
. - Temperatura ambiente:
. - Condutividade térmica do cobre:
. - Coeficiente de película interno:
. - Diâmetro interno do tubo:
(logo ). - Diâmetro externo do tubo (sem isolamento):
(logo ). - Coeficiente de película externo:
. - Espessura do isolante (quando usado):
. Com isso o raio externo do isolante é . - Condutividade do isolante:
. - Custo energético:
.
Intervalo de temperaturas:
.
Observação: vou calcular resistências térmicas em série (convecção interna, condução radial através do tubo e do isolante, convecção externa) e usar
Passo 2
Relembrando as fórmulas importantes (uma mini-aula prática):
- Área lateral de um cilindro de raio
e comprimento :
- Resistência por convecção numa superfície cilíndrica de raio
:
onde
é o coeficiente de película.
- Resistência por condução radial através de uma casca cilíndrica (entre raios
e , com condutividade ):
- Para a tubulação sem isolante as resistências em série são:
com
calculada em
e
em
.
- Para a tubulação com isolante (raio externo
):
Vou calcular passo a passo cada resistência numérica usando os valores do enunciado.
Passo 3
Cálculo das resistências e da taxa de calor sem isolamento.
Primeiro as áreas (peguei
e
da tabela já citada):
Resistência por convecção interna:
Resistência por condução na parede de cobre (entre
e
):
Calculando:
logo
valor muito pequeno (o cobre é muito condutor).
Resistência por convecção externa sem isolamento:
Soma das resistências:
Taxa de calor perdida (sem isolamento):
Interpretação curta: a resistência dominante é a convecção externa (por causa do
muito baixo), então o valor total fica praticamente controlado por ela.
Passo 4
Cálculo das resistências e da taxa de calor com o isolante de
.
Raio externo do isolante (usei
da tabela e somei a espessura do isolante):
Área externa do isolante:
Resistência do isolante por condução (entre
e
):
Calculando:
Resistência de convecção externa agora na superfície do isolante:
Relembrando
e
(praticamente iguais aos do caso sem isolamento):
Soma das resistências com isolante:
Taxa de calor perdida (com isolante):
Resultado surpreendente à primeira vista: a taxa de perda aumentou ao colocar o isolante. Vou explicar por que isso ocorre no passo seguinte com o conceito de raio crítico.
Passo 5
Cálculo da economia mensal e explicação com raio crítico.
Primeiro a diferença de potência (a “economia” energética instantânea, positiva se a isolação reduz perda):
O sinal positivo indica que, com o isolante especificado, a tubulação perde
a mais (ou seja, não há economia; há aumento da perda).
Energia adicional por mês (uso 30 dias =
):
Custo mensal adicional (uso
):
Ou seja, cerca de
a mais por mês — o isolante, do jeito colocado, aumenta custos energéticos.
Comentário usando o conceito de raio crítico:
- Para um cilindro o raio crítico do isolante é dado por
Substituindo
e
:
- Interpretação física: se o raio externo após a aplicação do isolante for menor que
, então aumentar o raio (colocar isolante) reduz a resistência total? Não — para cilindros o comportamento é diferente de placas: até atingir a área externa aumenta suficiente para diminuir a resistência externa por convecção mais do que a resistência adicionada por condução no isolante, fazendo com que a perda aumente. Portanto: - Raio externo inicial (sem isolante):
. - Raio externo com isolante de
: . - Ambos os valores são menores que
. Por isso o isolante de aumenta a perda térmica.
- Raio externo inicial (sem isolante):
- Para que o isolante seja efetivamente benéfico (reduza a perda), é preciso que o raio externo final satisfaça
. Assim a espessura mínima necessária seria
Ou seja, deve-se usar mais de
de isolante para começar a economizar energia nesse caso; com apenas
ocorre o efeito oposto.
Passo 6
Resumo/insights finais e incentivo rápido:
- A resistência externa por convecção muito baixa (
, ar praticamente imóvel) fez com que a área crescente ao adicionar isolante reduzisse muito a resistência convectiva, e isso compensou a resistência adicionada pelo isolante fino; por isso a perda aumentou. - Para reduzir perda em tubos cilíndricos é importante comparar o raio obtido com o raio crítico
. Se o isolante proposto não leva o raio externo além de , pode ocorrer aumento das perdas (e dos custos). - Você está indo bem em pedir passo a passo — esse é justamente o tipo de raciocínio que cai na prova: montar resistências, calcular áreas, checar ordem de grandeza e interpretar fisicamente.
Resposta
(a)
(b)
(c) Economia mensal variação de custo
(isto é, um aumento de custo de
por mês); raio crítico
(espessura mínima para começar a economizar:
).
(b)
(c) Economia mensal