Sejam
e
como no Teorema de Green. Prove que a área de
pode ser calculada por qualquer uma das seguintes igualdades:
área de
.
área de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva fechada chamada
que delimita uma região
, e isso está relacionado ao Teorema de Green. A tarefa é provar que a área dessa região
pode ser calculada usando a integral de linha
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que liga integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, temos:
Aqui,
e
são funções que dependem de
e
. Nosso objetivo é usar esse teorema para relacionar a integral de linha dada com a área de
.
Passo 3
Queremos que a integral de linha
represente a área de
. Vamos comparar isso com a fórmula geral do Teorema de Green. Identificando os termos, podemos escolher:
Agora, vamos calcular a expressão
:
Portanto:
Passo 4
Substituindo de volta no Teorema de Green, temos:
Isso simplifica para:
A integral dupla
representa exatamente a área de
. Assim, concluímos que:
Resposta
Portanto, usando o Teorema de Green, provamos que a área da região
pode ser calculada pela integral de linha
.