Sejam gamma e K como no Teorema de Green. Prove que a área de K pode ser calculada por qualquer uma das seguintes igualdades:
área de K=ointgamma-y d x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva fechada chamada gamma que delimita uma região K, e isso está relacionado ao Teorema de Green. A tarefa é provar que a área dessa região K pode ser calculada usando a integral de linha ointgamma -y , dx. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que liga integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos diz que, para uma curva fechada gamma que delimita uma região K no plano, temos:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P e Q são funções que dependem de x e y. Nosso objetivo é usar esse teorema para relacionar a integral de linha dada com a área de K.

Passo 3

Queremos que a integral de linha ointgamma -y , dx represente a área de K. Vamos comparar isso com a fórmula geral do Teorema de Green. Identificando os termos, podemos escolher:
P = -y e Q = 0
Agora, vamos calcular a expressão partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x = partial 0partial x = 0
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Portanto:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - (-1) = 1

Passo 4

Substituindo de volta no Teorema de Green, temos:
ointgamma -y , dx + 0 , dy = integral duplaK 1 , dA
Isso simplifica para:
ointgamma -y , dx = integral duplaK dA
A integral dupla integral duplaK dA representa exatamente a área de K. Assim, concluímos que:
área de K = ointgamma -y , dx á

Resposta

Portanto, usando o Teorema de Green, provamos que a área da região K pode ser calculada pela integral de linha ointgamma -y , dx.

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