Encontre a derivada das seguintes funções:
h(s)=\int_{1-3 s}^{1} \frac{e{t+1}}{1+t{2}} dt

Passo 1

O enunciado define a função
h(s)=\int_{1-3s}^{1}\frac{e^{t+1}}{1+t^{2}}\,dt
e pede a derivada h'(s). O conteúdo principal aqui é o teorema de diferenciação de integrais com limites dependentes da variável (regra de Leibniz).

Passo 2

Segundo a regra de Leibniz, se
H(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt,
então
H'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

No nosso caso:
\;a(s)=1-3s, logo a'(s)=-3,
\;b(s)=1, logo b'(s)=0,
e \;f(t)=\frac{e^{t+1}}{1+t^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Leibniz:
h'(s) =f\bigl(1\bigr)\cdot 0 \;-\; f\bigl(1-3s\bigr)\cdot(-3) =3\,f\bigl(1-3s\bigr).
Substituindo f:
h'(s) =3\;\frac{e^{(1-3s)+1}}{1+(1-3s)^{2}} =3\;\frac{e^{2-3s}}{1+(1-3s)^{2}}.

Resposta

h'(s)=3\,\frac{e^{2-3s}}{1+(1-3s)^{2}}.

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