Use somas de Riemann para encontrar a área da região R que é a região limitada pelo gráfico da função f, o exito- x, e as retas x=a e x=b, onde:
f(x)=x^{2}+1,[a . b]=[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelo gráfico de f(x)=x^{2}+1, pelo eixo- x e pelas retas x=a, x=b em [a,b]=[-1,1]. Vamos aproximar essa área por somas de Riemann, levar ao limite para obter a integral definida e, em seguida, calcular essa integral.

Passo 2

Particionamos [-1,1] em n subintervalos de largura
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - (-1)}{n} = \frac{2}{n}.
Tomamos o ponto de amostragem à direita em cada subintervalo:
x_i = a + i\,\Delta x = -1 + \frac{2i}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann correspondente é
S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^n \Bigl[\bigl(-1+\tfrac{2i}{n}\bigr)^2 + 1\Bigr]\cdot\frac{2}{n}.

Passo 3

Dentro da soma, note que
\bigl(-1+\tfrac{2i}{n}\bigr)^2 + 1 = 1 - \tfrac{4i}{n} + \tfrac{4i^2}{n^2} + 1 = 2 - \tfrac{4i}{n} + \tfrac{4i^2}{n^2}.
Então
S_n = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n\Bigl(2 - \tfrac{4i}{n} + \tfrac{4i^2}{n^2}\Bigr) = \frac{2}{n}\Bigl( 2n \;-\;\frac{4}{n}\sum_{i=1}^n i \;+\;\frac{4}{n^2}\sum_{i=1}^n i^2 \Bigr).

Passo 4

Usamos as fórmulas
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Substituindo em S_n, obtemos
S_n = \frac{2}{n}\Bigl( 2n - \frac{4}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2} + \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \Bigr) = \frac{2}{n}\Bigl( 2n - 2(n+1) + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3n} \Bigr).

Passo 5

A área procurada é o limite de S_n quando n\to\infty:
A = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(-\tfrac{4}{n} + \tfrac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}\Bigr) = \frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

Exercícios relacionados