Use somas de Riemann para encontrar a área da região R que é a região limitada pelo gráfico da função f, o exito- x, e as retas x=a e x=b, onde:
f(x)=4-x^{2},[a . b]=[-2,2]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região R limitada pelo gráfico de
f(x)=4 - x^{2},
pelo eixo- x e pelas retas verticais x=a e x=b, com
[a,b]=[-2,2].
Vamos usar a definição de integral como limite de somas de Riemann para calcular
\displaystyle \int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx, que é justamente a área de R.

Passo 2

Dividimos o intervalo [-2,2] em n subintervalos de comprimento
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - (-2)}{n} = \frac{4}{n}.
Para cada i=1,2,\dots,n escolhemos o ponto de amostragem (por exemplo, extremo direito)
x_i = -2 + i\,\Delta x = -2 + i\frac{4}{n}.
A soma de Riemann corresponde a
S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^n \bigl(4 - x_i^{2}\bigr)\,\Delta x.

Passo 3

Substituindo x_i = -2 + \tfrac{4i}{n} em f:
f(x_i) =4 - \bigl(-2 + \tfrac{4i}{n}\bigr)^{2} =4 - \bigl(4 - \tfrac{16i}{n} + \tfrac{16i^{2}}{n^{2}}\bigr) = \tfrac{16i}{n} - \tfrac{16i^{2}}{n^{2}}.
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S_n =\sum_{i=1}^n \bigl(\tfrac{16i}{n} - \tfrac{16i^{2}}{n^{2}}\bigr)\,\frac{4}{n} =\sum_{i=1}^n\Bigl(\tfrac{64\,i}{n^{2}} - \tfrac{64\,i^{2}}{n^{3}}\Bigr).

Passo 4

Separamos a soma em dois termos e usamos
\displaystyle \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} e
\displaystyle \sum_{i=1}^n i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}:
S_n = \frac{64}{n^{2}}\sum_{i=1}^n i \;-\;\frac{64}{n^{3}}\sum_{i=1}^n i^{2} = \frac{64}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} - \frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Simplificando cada termo:
\frac{64}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =32\frac{n+1}{n}, \quad \frac{64}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{32}{3}\,\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}.
Portanto
S_n = 32\frac{n+1}{n} - \frac{32}{3}\,\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}.

Passo 5

Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}32\frac{n+1}{n}=32, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}=2,
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\lim_{n\to\infty}S_n =32 - \frac{32}{3}\times 2 =32 - \frac{64}{3} =\frac{96 - 64}{3} =\frac{32}{3}.
Este limite é a área da região R.

Resposta

A área de R é \displaystyle \frac{32}{3}.

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