Encontre a derivada das seguintes funções:
(q) f(x)=sec (raiz1+cos (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=secl(raiz1+cos(x)r). Vamos usar a regra da cadeia em três níveis: primeiro a derivada de sec(u), depois a de u=raizv e por fim a de v=1+cos(x).

Passo 2

Definimos
u(x)=raiz1+cos(x),
então
f(x)=secl(u(x)r)
Pela regra da cadeia,
f'(x)=ddul[sec(u)r]|u=u(x)cdot u'(x)

Passo 3

A derivada de sec(u) em relação a u é
ddul[sec(u)r]=sec(u),tan(u)
Logo,
f'(x)=secl(u(x)r),tanl(u(x)r);u'(x)

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Escrevendo u(x)=(1+cos(x))^1/2, aplicamos a regra da cadeia novamente:
u'(x)=12,(1+cos(x))^-1/2cdotddxl[1+cos(x)r]
E sabemos que ddx[cos(x)]=-,sin(x). Portanto,
u'(x)=12,(1+cos(x))^-1/2cdotl(-sin(x)r) =-sin(x)2raiz1+cos(x)

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =secl(raiz1+cos(x)r), tanl(raiz1+cos(x)r), l(-sin(x)2raiz1+cos(x)r)
Podemos colocar o sinal negativo na frente:

Resposta

f'(x) =-sin(x)2raiz1+cos(x), secl(raiz1+cos(x)r), tanl(raiz1+cos(x)r)

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