Prove que:
(a) Dx(a^x)=a^x cdot ln (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a derivada de a^x em relação a x é igual a a^x cdot ln(a) . Isso está dentro do estudo de cálculo, mais especificamente das derivadas de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades das funções exponenciais e as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a^x pode ser reescrito usando a base e , que é a base dos logaritmos naturais. A fórmula que vamos usar é:
a^x = e^x cdot ln(a)
Isso funciona porque e^ln(a) = a , então estamos apenas mudando a base da exponencial para facilitar a derivação.

Passo 3

Agora que temos a^x escrito como e^x cdot ln(a) , vamos derivar essa expressão em relação a x . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar composições de funções.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta e^u , onde u é uma função de x , então a derivada é:
ddx e^u = e^u cdot dudx
No nosso caso, u = x cdot ln(a) .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
ddx e^x cdot ln(a) = e^x cdot ln(a) cdot ddx(x cdot ln(a))
Agora, derivamos x cdot ln(a) em relação a x . Como ln(a) é uma constante (já que a é uma constante), a derivada é simplesmente ln(a) :
ddx(x cdot ln(a)) = ln(a)
Então, substituindo de volta na expressão:
ddx e^x cdot ln(a) = e^x cdot ln(a) cdot ln(a)

Resposta

Portanto, provamos que:
Dx(a^x) = a^x cdot ln(a)

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