Prove que:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Isso está dentro do estudo de cálculo, mais especificamente das derivadas de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades das funções exponenciais e as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser reescrito usando a base
, que é a base dos logaritmos naturais. A fórmula que vamos usar é:
Isso funciona porque
, então estamos apenas mudando a base da exponencial para facilitar a derivação.
Passo 3
Agora que temos
escrito como
, vamos derivar essa expressão em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar composições de funções.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, onde
é uma função de
, então a derivada é:
No nosso caso,
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
Agora, derivamos
em relação a
. Como
é uma constante (já que
é uma constante), a derivada é simplesmente
:
Então, substituindo de volta na expressão:
Resposta
Portanto, provamos que: