Encontre \frac{d y}{d x} por derivação implícita:
1+x=\sin \left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
1 + x = \sin\!\bigl(x\,y^2\bigr)
e pede \frac{dy}{dx}. Vamos usar a regra da derivada de soma, a regra da cadeia para \sin e a regra do produto para x\,y^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(1 + x) = \frac{d}{dx}\Bigl[\sin\!\bigl(x\,y^2\bigr)\Bigr].
No lado esquerdo \frac{d}{dx}(1+x)=1.
No direito, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,\frac{du}{dx},
com u = x\,y^2. Então
\frac{d}{dx}\sin\!\bigl(x\,y^2\bigr) = \cos\!\bigl(x\,y^2\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x\,y^2\bigr).
Para \frac{d}{dx}(x\,y^2) usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\,y^2) = 1\cdot y^2 + x\cdot\frac{d}{dx}(y^2) = y^2 + x\cdot 2y\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação original:
1 = \cos\!\bigl(x\,y^2\bigr)\,\bigl(y^2 + 2x\,y\,\tfrac{dy}{dx}\bigr).
Dividindo por \cos(xy^2) e isolando \tfrac{dy}{dx}:
y^2 + 2x\,y\,\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos\!\bigl(x\,y^2\bigr)},
2x\,y\,\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos\!\bigl(x\,y^2\bigr)} - y^2,
\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle \frac{1}{\cos\!\bigl(x\,y^2\bigr)} - y^2}{2x\,y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{1}{\cos\!\bigl(x\,y^2\bigr)} - y^2}{2x\,y}.

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