Encontre a derivada e simplifique quando possível.
y=x \operatorname{senh}^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)-\sqrt{9+x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x\,\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right) - \sqrt{9+x^{2}}.
Pede-se a derivada y' e que a resposta seja simplificada.
Informações relevantes fornecidas: a função é soma (produto no primeiro termo) de duas partes — um produto x\cdot \operatorname{senh}^{-1}(x/3) e uma raiz \sqrt{9+x^{2}}. A derivação exigirá regras de derivação de produto, regra da cadeia e a derivada da função \operatorname{senh}^{-1}.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo usando a regra do produto. Se u(x)=x e v(x)=\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right), a regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u\cdot v\big)=u'v+uv'.
Aqui u'(x)=1. Logo a derivada do primeiro termo é
\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right) + x\cdot\frac{d}{dx}\left[\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right)\right].
Explico a regra do produto: quando multiplicamos duas funções, a derivada combina a derivada de uma vezes a outra (mantendo a outra fixa) mais a primeira vezes a derivada da segunda. É uma “distribuição” da diferenciação sobre o produto.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de \operatorname{senh}^{-1}\!(u(x)). A fórmula (derivada da função arco-seno hiperbólico) é
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}^{-1}\!(u(x))=\frac{u'(x)}{\sqrt{1+u(x)^{2}}}.
Aqui u(x)=\dfrac{x}{3}, portanto u'(x)=\dfrac{1}{3}. Assim
\frac{d}{dx}\left[\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right)\right] = \frac{\tfrac{1}{3}}{\sqrt{1+\left(\tfrac{x}{3}\right)^{2}}}.
Agora simplificamos a raiz:
\sqrt{1+\left(\tfrac{x}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9+x^{2}}{9}}=\frac{\sqrt{9+x^{2}}}{3}.
Substituindo na fração:
\frac{\tfrac{1}{3}}{\dfrac{\sqrt{9+x^{2}}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\left[\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right)\right]=\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}.

Passo 4

Derivamos agora o segundo termo -\sqrt{9+x^{2}}. Lembrando que \sqrt{g(x)}=(g(x))^{1/2} e usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sqrt{9+x^{2}}=\frac{1}{2}(9+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{9+x^{2}}}.
Como o sinal é negativo no enunciado, a derivada do segundo termo é
-\,\frac{x}{\sqrt{9+x^{2}}}.
Explico a regra usada: derivate de g(x)^{1/2} é \tfrac{1}{2}g(x)^{-1/2}\cdot g'(x) (primeiro baixa o expoente, depois multiplica pela derivada do interior).

Passo 5

Agora juntamos tudo. A derivada de y é:
y'=\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right) + x\cdot\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}} - \frac{x}{\sqrt{9+x^{2}}}.
Observe que os dois últimos termos se cancelam:
x\cdot\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}-\frac{x}{\sqrt{9+x^{2}}}=0.
Portanto sobra somente
y'=\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right).
Pequeno comentário de incentivo: às vezes as derivadas “feias” se simplificam muito — esse é um desses casos! Você conseguiu.

Resposta

y'=\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{3}\right)

Exercícios relacionados