Encontre a derivada e simplifique quando possível.
Passo 1
O enunciado dá a função
Pede-se a derivada
e que a resposta seja simplificada.
Informações relevantes fornecidas: a função é soma (produto no primeiro termo) de duas partes — um produto e uma raiz
. A derivação exigirá regras de derivação de produto, regra da cadeia e a derivada da função
.
Informações relevantes fornecidas: a função é soma (produto no primeiro termo) de duas partes — um produto
Passo 2
Vamos derivar o primeiro termo usando a regra do produto. Se
e
, a regra do produto diz:
Aqui
. Logo a derivada do primeiro termo é
Explico a regra do produto: quando multiplicamos duas funções, a derivada combina a derivada de uma vezes a outra (mantendo a outra fixa) mais a primeira vezes a derivada da segunda. É uma “distribuição” da diferenciação sobre o produto.
Passo 3
Agora precisamos da derivada de
. A fórmula (derivada da função arco-seno hiperbólico) é
Aqui
, portanto
. Assim
Agora simplificamos a raiz:
Substituindo na fração:
Portanto
Passo 4
Derivamos agora o segundo termo
. Lembrando que
e usando a regra da cadeia:
Como o sinal é negativo no enunciado, a derivada do segundo termo é
Explico a regra usada: derivate de
é
(primeiro baixa o expoente, depois multiplica pela derivada do interior).
Passo 5
Agora juntamos tudo. A derivada de
é:
Observe que os dois últimos termos se cancelam:
Portanto sobra somente
Pequeno comentário de incentivo: às vezes as derivadas “feias” se simplificam muito — esse é um desses casos! Você conseguiu.