Use derivação implícita para determinar \frac{d y}{d x}.

Passo 1

O enunciado pede: “Use derivação implícita para determinar \frac{d y}{d x}.”
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma relação entre x e y foi dada (não há nenhuma equação implícita do tipo \,F(x,y)=0 nem relação explícita y=f(x)).
Conclusão imediata: com os dados que recebi não há uma equação a ser diferenciada, portanto não é possível calcular um valor concreto de \frac{d y}{d x} específico sem que você forneça a relação entre x e y.

Passo 2

O que seria necessário para resolver o problema: uma equação que relacione x e y, por exemplo uma igualdade do tipo \,F(x,y)=0 (por exemplo \,x^2+y^2-25=0 ou \,xy+y^3-4x=0). Essa é a informação mínima. Sem ela não há função implícita a ser diferenciada.

Passo 3

Agora vou te ensinar passo a passo como se faz a derivação implícita, de forma que na prova você consiga aplicar o procedimento assim que tiver a equação. Regra geral (visão operacional):
  1. Comece com a relação implícita dada, escrita como \,F(x,y)=0 (se estiver numa forma diferente, reescreva assim).
  2. Diferencie ambos os lados da igualdade em relação a x. Ao derivar termos que envolvem y, trate y como função de x (ou seja, sempre que derivar y apareça um fator \frac{dy}{dx} por causa da regra da cadeia).
  3. Use regras usuais: derivada de soma é soma das derivadas, produto usa a regra do produto, potência usa a regra da potência combinada com a cadeia, etc.
  4. Depois de derivar, agrupe todos os termos que contêm \frac{dy}{dx} em um lado da igualdade e isole \frac{dy}{dx}.
  5. Simplifique para obter \frac{dy}{dx}= alguma expressão em x e y.
Explicando a regra da cadeia aplicada aqui: se y depende de x, a derivada de uma composição como y^n é
\frac{d}{dx}\big(y^n\big)=n\,y^{n-1}\,\frac{dy}{dx}.
Se aparece um produto x\cdot y, aplica-se a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\,y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{d}{dx}(y)=1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Fórmula compacta (útil quando a relação está escrita como F(x,y)=0): diferencie e escreva
\frac{d}{dx}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{dy}{dx}=0,
ou seja
\frac{dy}{dx}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}},
desde que \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0. Aqui \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x} é a derivada de F em relação a x tratando y como constante, e \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y} é a derivada de F em relação a y tratando x como constante. Essa forma é prática e evita ficar repetindo a regra da cadeia mentalmente — ela já incorpora a presença de \frac{dy}{dx}.

Passo 5

Exemplos resolvidos passo a passo (práticos; estude-os porque esses tipos saem direto na prova):
Exemplo 1 — círculo: comece com \,x^2+y^2=25.
Diferenciando termo a termo:
\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(25).
Aplicando as regras:
2x + 2y\frac{dy}{dx}=0.
Agora isole \frac{dy}{dx}:
2y\frac{dy}{dx}=-2x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
Interpretação rápida: a inclinação da tangente em cada ponto (x,y) do círculo é -x/y.
Exemplo 2 — mistura de produto e potência: comece com \,x y + y^3 = 4x.
Diferencie ambos os lados:
\frac{d}{dx}(x y) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(4x).
Use regra do produto no primeiro termo e regra da cadeia no segundo:
(y + x\frac{dy}{dx}) + (3y^2\frac{dy}{dx}) = 4.
Agrupe os termos com \frac{dy}{dx}:
x\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 4 - y.
Fatora \frac{dy}{dx} e isola:
\frac{dy}{dx}\,(x+3y^2)=4-y \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{4-y}{x+3y^2}.
Observação: aqui ficou explícito como combinar produto + cadeia + algebra para isolar \frac{dy}{dx}.

Passo 6

Dicas de prova (práticas e que salvam tempo e cabeça em dias de tensão):
  • Sempre marque claramente quais termos geram \frac{dy}{dx} (normalmente todos os que contêm y).
  • Faça a diferenciação termo a termo e só depois junte os \frac{dy}{dx} — assim evita confusão.
  • Se no resultado aparece divisão por zero ao isolar \frac{dy}{dx}, isso pode indicar uma reta vertical (derivada indefinida) ou que naquele ponto a tangente é vertical — anote isso.
  • Se a relação for F(x,y)=0, aplicar a fórmula \frac{dy}{dx}=-F_x/F_y costuma ser a maneira mais rápida.
  • Treine com várias formas (polinômios, produtos, quocientes, funções trigonométricas) até o procedimento virar automático.

Resposta

Não é possível determinar \frac{dy}{dx} porque o enunciado não fornece a equação implícita relacionando x e y.

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