Use derivação implícita para determinar
.
Passo 1
O enunciado pede: “Use derivação implícita para determinar
.”
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma relação entre e
foi dada (não há nenhuma equação implícita do tipo
nem relação explícita
).
Conclusão imediata: com os dados que recebi não há uma equação a ser diferenciada, portanto não é possível calcular um valor concreto de específico sem que você forneça a relação entre
e
.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma relação entre
Conclusão imediata: com os dados que recebi não há uma equação a ser diferenciada, portanto não é possível calcular um valor concreto de
Passo 2
O que seria necessário para resolver o problema: uma equação que relacione
e
, por exemplo uma igualdade do tipo
(por exemplo
ou
). Essa é a informação mínima. Sem ela não há função implícita a ser diferenciada.
Passo 3
Agora vou te ensinar passo a passo como se faz a derivação implícita, de forma que na prova você consiga aplicar o procedimento assim que tiver a equação. Regra geral (visão operacional):
- Comece com a relação implícita dada, escrita como
(se estiver numa forma diferente, reescreva assim). - Diferencie ambos os lados da igualdade em relação a
. Ao derivar termos que envolvem , trate como função de (ou seja, sempre que derivar apareça um fator por causa da regra da cadeia). - Use regras usuais: derivada de soma é soma das derivadas, produto usa a regra do produto, potência usa a regra da potência combinada com a cadeia, etc.
- Depois de derivar, agrupe todos os termos que contêm
em um lado da igualdade e isole . - Simplifique para obter
alguma expressão em e .
Explicando a regra da cadeia aplicada aqui: se
depende de
, a derivada de uma composição como
é
Se aparece um produto
, aplica-se a regra do produto:
Passo 4
Fórmula compacta (útil quando a relação está escrita como
): diferencie e escreva
ou seja
desde que
. Aqui
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante, e
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante. Essa forma é prática e evita ficar repetindo a regra da cadeia mentalmente — ela já incorpora a presença de
.
Passo 5
Exemplos resolvidos passo a passo (práticos; estude-os porque esses tipos saem direto na prova):
Exemplo 1 — círculo: comece com
.
Diferenciando termo a termo:
Diferenciando termo a termo:
Aplicando as regras:
Agora isole
:
Interpretação rápida: a inclinação da tangente em cada ponto
do círculo é
.
Exemplo 2 — mistura de produto e potência: comece com
.
Diferencie ambos os lados:
Diferencie ambos os lados:
Use regra do produto no primeiro termo e regra da cadeia no segundo:
Agrupe os termos com
:
Fatora
e isola:
Observação: aqui ficou explícito como combinar produto + cadeia + algebra para isolar
.
Passo 6
Dicas de prova (práticas e que salvam tempo e cabeça em dias de tensão):
- Sempre marque claramente quais termos geram
(normalmente todos os que contêm ). - Faça a diferenciação termo a termo e só depois junte os
— assim evita confusão. - Se no resultado aparece divisão por zero ao isolar
, isso pode indicar uma reta vertical (derivada indefinida) ou que naquele ponto a tangente é vertical — anote isso. - Se a relação for
, aplicar a fórmula costuma ser a maneira mais rápida. - Treine com várias formas (polinômios, produtos, quocientes, funções trigonométricas) até o procedimento virar automático.
Resposta
Não é possível determinar
porque o enunciado não fornece a equação implícita relacionando
e
.