Encontre a derivada
f(x)=\sqrt[3]{\frac{\operatorname{tg}(2 x)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{\frac{\tan(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}
Aqui vamos usar regra da cadeia (para a raiz cúbica) e regra do quociente (para \tan(2x)/(x^2+1)^2), além da derivada de \tan(2x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{\tan(2x)}{(x^{2}+1)^{2}},
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{\frac{1}{3}}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{1}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-\frac{2}{3}}\;u'(x).

Passo 3

Para achar u'(x) usamos a regra do quociente. Tomamos
A(x)=\tan(2x), \quad B(x)=(x^2+1)^2.
Então
A'(x)=2\,\operatorname{sec}^2(2x), \qquad B'(x)=2\,(x^2+1)\cdot2x=4x\,(x^2+1).
Logo
u'(x) =\frac{A'(x)\,B(x)-A(x)\,B'(x)}{[B(x)]^{2}} =\frac{2\,\operatorname{sec}^2(2x)\,(x^2+1)^2-\tan(2x)\,4x\,(x^2+1)}{(x^2+1)^4}.
Fatorando (x^2+1) e simplificando com o denominador,
u'(x) =\frac{2\,\operatorname{sec}^2(2x)\,(x^2+1)-4x\,\tan(2x)}{(x^2+1)^3}.

Passo 4

Substituindo u e u' em f'(x)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3}u', temos
f'(x) =\frac{1}{3}\biggl[\frac{\tan(2x)}{(x^2+1)^2}\biggr]^{-\frac{2}{3}} \;\frac{2\,\operatorname{sec}^2(2x)\,(x^2+1)-4x\,\tan(2x)}{(x^2+1)^3}.
Repare que
\bigl(x^2+1\bigr)^{-2\cdot(-2/3)} =(x^2+1)^{4/3}, \quad \tan(2x)^{-2/3}=(\tan(2x))^{-2/3}.
Combinando as potências de (x^2+1) e \tan(2x) chega-se a:

Passo 5

f'(x) =\frac{2\,(x^2+1)\,\operatorname{sec}^2(2x)\;-\;4x\,\tan(2x)} {3\,(x^2+1)^{5/3}\,\bigl[\tan(2x)\bigr]^{2/3}}.

Resposta

\boxed{% f'(x) =\frac{2\,(x^2+1)\,\operatorname{sec}^2(2x)-4x\,\tan(2x)} {3\,(x^2+1)^{5/3}\,\bigl[\tan(2x)\bigr]^{2/3}} }.

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