Resolva a equação A \times \vec{x}=\vec{b}, para \vec{x}, a partir dos dados abaixo, através do método dos minimos quadrados.
A=\left[\begin{array}{rr} -1 & -2 \\\\ 3 & -1 \\\\ -4 & -1 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right] ; \vec{b}=\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ -4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \vec{x} que minimiza o erro em
A\vec{x}=\vec{b}
pelo método dos mínimos quadrados. A ideia central é montar as equações normais
A^T A\,\vec{x} = A^T \vec{b}.
Aqui
A = \begin{pmatrix} -1 & -2\\\\ 3 & -1\\\\ -4 & -1\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4\\\\ 5\\\\ 1\\\\ -4 \end{pmatrix}.

Passo 2

Calcular A^T A. As entradas são
(A^T A)_{11} = \sum_{i=1}^4 A_{i1}^2 = (-1)^2 + 3^2 + (-4)^2 + 3^2 = 35,
(A^T A)_{22} = \sum_{i=1}^4 A_{i2}^2 = (-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 7,
(A^T A)_{12} = (A^T A)_{21} = \sum_{i=1}^4 A_{i1}A_{i2} = (-1)(-2) + 3(-1) + (-4)(-1) + 3(-1) = 0.
Portanto
A^T A = \begin{pmatrix} 35 & 0\\\\ 0 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular A^T\vec{b}. Cada componente é
(A^T\vec{b})_1 = \sum_{i=1}^4 A_{i1}b_i = (-1)\cdot4 + 3\cdot5 + (-4)\cdot1 + 3\cdot(-4) = -5,
(A^T\vec{b})_2 = \sum_{i=1}^4 A_{i2}b_i = (-2)\cdot4 + (-1)\cdot5 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-4) = -10.
Logo
A^T\vec{b} = \begin{pmatrix}-5\\\ -10\end{pmatrix}.

Passo 4

Resolvendo o sistema normal
\begin{pmatrix} 35 & 0\\\\ 0 & 7 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} -5\\\\ -10 \end{pmatrix}
temos por inversão de diagonal
\vec{x} = \begin{pmatrix} 35^{-1} & 0\\\\ 0 & 7^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5\\\\ -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{35}\\\\ -\tfrac{10}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{7}\\\\ -\tfrac{10}{7} \end{pmatrix}.

Resposta

\vec{x} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{7} \\\\ -\tfrac{10}{7} \end{pmatrix}.

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