Estude concavidade e pontas de inflexão
f(x)=\frac{x}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede o estudo de concavidade e identificação de pontos de inflexão da função
f(x) = \frac{x}{x^{2} - 4}.
Para isso, precisamos determinar o domínio de f, calcular f'(x) e f''(x), analisar o sinal de f''(x) nos intervalos do domínio e verificar onde ocorre mudança de sinal.

Passo 2

O domínio de f é todos os x tais que o denominador não zere, isto é,
x^{2}-4 \neq 0
x \neq \pm 2.
Portanto, os intervalos a considerar são (-\infty,-2), (-2,2) e (2,\infty).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) = \frac{(x^{2}-4)\cdot 1 - x\cdot 2x}{(x^{2}-4)^{2}} = \frac{x^{2}-4 -2x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} = -\frac{x^{2}+4}{(x^{2}-4)^{2}}.

Passo 4

Para obter f''(x), escrevemos
f'(x) = -(x^{2}+4)\,(x^{2}-4)^{-2}
e usamos regra do produto e cadeia, chegando a
f''(x) = \frac{2x\,(x^{2}+12)}{(x^{2}-4)^{3}}.

Passo 5

Os pontos em que f''(x)=0 ou é indefinida são:
1. Numerador zero em x=0 (pois x^{2}+12>0 sempre).
2. Denominador indefinido em x=\pm 2, mas aí f não existe.
Para o sinal de f'', note que x^{2}+12>0, então
\operatorname{sgn}f''(x) =\operatorname{sgn}\!\bigl(2x\bigr)\;\big/\;\operatorname{sgn}\!\bigl(x^{2}-4\bigr) =\operatorname{sgn}\!\frac{x}{x^{2}-4}.
Testando em cada intervalo:
  • Em (-\infty,-2): x<0, x^{2}-4>0 \Rightarrow f''<0.
  • Em (-2,0): x<0, x^{2}-4<0 \Rightarrow f''>0.
  • Em (0,2): x>0, x^{2}-4<0 \Rightarrow f''<0.
  • Em (2,\infty): x>0, x^{2}-4>0 \Rightarrow f''>0.

Passo 6

Como f'' muda de sinal em x=0 (de positivo para negativo) e f é contínua aí, x=0 é ponto de inflexão. O valor correspondente é
f(0)=\frac{0}{0-4}=0.

Resposta

Função côncava para baixo em (-\infty,-2) e em (0,2);
côncava para cima em (-2,0) e em (2,\infty).
Ponto de inflexão em \bigl(0,0\bigr).

Exercícios relacionados