Estude concavidade e pontas de inflexão
Passo 1
O enunciado pede o estudo de concavidade e identificação de pontos de inflexão da função
Para isso, precisamos determinar o domínio de
, calcular
e
, analisar o sinal de
nos intervalos do domínio e verificar onde ocorre mudança de sinal.
Passo 2
O domínio de
é todos os
tais que o denominador não zere, isto é,
Portanto, os intervalos a considerar são
,
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente,
Passo 4
Para obter
, escrevemos
e usamos regra do produto e cadeia, chegando a
Passo 5
Os pontos em que
ou é indefinida são:
. Numerador zero em
(pois
sempre).
. Denominador indefinido em
, mas aí
não existe.
Para o sinal de
, note que
, então
Testando em cada intervalo:
- Em
: , . - Em
: , . - Em
: , . - Em
: , .
Passo 6
Como
muda de sinal em
(de positivo para negativo) e
é contínua aí,
é ponto de inflexão. O valor correspondente é
Resposta
Função côncava para baixo em
e em
;
côncava para cima em e em
.
Ponto de inflexão em .
côncava para cima em
Ponto de inflexão em