Sejam B=\left\{\overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}\right\} e C=\left\{\overrightarrow{c_{1}}, \overrightarrow{c_{2}}\right\}, dados abaixo, duas bases para \mathbb{R}^{2}, entầo:
a) encontre a matriz transformação de vetores de B para C;
b) encontre as coordenadas de \left[{ }^{-1}\right]_{B}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1\end{array}\right] na base C;
c) encontre as coordenadas de \vec{z} na base canônica:
\overrightarrow{b_{1}}=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 4 \end{array}\right] ; \overrightarrow{b_{2}}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 2 \end{array}\right] ; \overrightarrow{c_{1}}=\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ -1 \end{array}\right] ; \overrightarrow{c_{2}}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2,
B=\{\,\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2}\},\quad C=\{\,\overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2}\},
com
\overrightarrow{b_1}=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix},\; \overrightarrow{b_2}=\begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix},\; \overrightarrow{c_1}=\begin{pmatrix}5\\\ -1\end{pmatrix},\; \overrightarrow{c_2}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
Precisamos:
a) a matriz de passagem de coordenadas de B para C;
b) as coordenadas em C do vetor cuja coordenada em B é \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix};
c) as coordenadas desse mesmo vetor (denotado \vec z) na base canônica.

Passo 2

Para achar a matriz de passagem, primeiro expressamos cada \overrightarrow{b_i}\) como combinação linear de \(\overrightarrow{c_1}\) e \(\overrightarrow{c_2}\). Escrevemos \[\overrightarrow{b_1} = \alpha_1\overrightarrow{c_1} + \beta_1\overrightarrow{c_2}, \quad \overrightarrow{b_2} = \alpha_2\overrightarrow{c_1} + \beta_2\overrightarrow{c_2}.
No caso de \overrightarrow{b_1}:
\begin{cases} -1 = 5\alpha_1 + \beta_1,\\\\ 4 = -\alpha_1, \end{cases}
daí \alpha_1=-4\] e \[\beta_1=19. Para \overrightarrow{b_2}:
\begin{cases} 2 = 5\alpha_2 + \beta_2,\\\\ 2 = -\alpha_2, \end{cases}
logo \alpha_2=-2\] e \(\beta_2=12.

Passo 3

A matriz de passagem P de B para C tem colunas formadas pelos pares (\alpha_i,\beta_i). Assim,
P = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\\ \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -2\\\\ 19 & 12 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para o vetor cuja coordenada em B é \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}, suas coordenadas em C são
P \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & -2\\\ 19 & 12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4+2\\\ 19-12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 7\end{pmatrix}.

Passo 5

Para achar \vec z na base canônica, usamos \vec z = 1\cdot\overrightarrow{b_1}+(-1)\cdot\overrightarrow{b_2}:
\vec z = \begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ 2\end{pmatrix}.

Resposta

a) \displaystyle \begin{pmatrix}-4 & -2\\\ 19 & 12\end{pmatrix}
b) \displaystyle \begin{pmatrix}-2\\\ 7\end{pmatrix}
c) \displaystyle \begin{pmatrix}-3\\\ 2\end{pmatrix}

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