Sejam B=\left\{\overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}\right\} e C=\left\{\overrightarrow{c_{1}}, \overrightarrow{c_{2}}\right\}, dados abaixo, duas bases para \mathbb{R}^{2}, entầo:
a) encontre a matriz transformação de vetores de B para C;
b) encontre as coordenadas de \left[{ }^{-1}\right]_{B}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1\end{array}\right] na base C;
c) encontre as coordenadas de \vec{z} na base canônica:
Precisamos:
a) a matriz de passagem de coordenadas de B para C;
b) as coordenadas em C do vetor cuja coordenada em B é \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix};
c) as coordenadas desse mesmo vetor (denotado \vec z) na base canônica.
Passo 2
Para achar a matriz de passagem, primeiro expressamos cada \overrightarrow{b_i}\) como combinação linear de \(\overrightarrow{c_1}\) e \(\overrightarrow{c_2}\). Escrevemos
\[\overrightarrow{b_1} = \alpha_1\overrightarrow{c_1} + \beta_1\overrightarrow{c_2}, \quad \overrightarrow{b_2} = \alpha_2\overrightarrow{c_1} + \beta_2\overrightarrow{c_2}.