1. Encontre a derivada de y=\left(\frac{x^{\alpha}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada de
y=\left(\frac{x^{\alpha}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}.
Informações e pedidos claros:
  • A função dependente é y e a variável independente é x.
  • \alpha é um parâmetro (uma constante) cujo valor não foi dado; portanto a derivada deve ser em termos de x e \alpha.
  • Objetivo: calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Plano de resolução (sem ainda calcular): aplicar a regra da cadeia para a potência externa e, dentro dela, diferenciar a função quociente usando a regra do quociente. Vou agora ensinar as regras que vou usar, passo a passo e de forma didática.
Regra da cadeia (explicação):
  • Se y = F(u(x)), onde u depende de x e F é uma função de u, então
\frac{dy}{dx} = F'(u(x))\cdot u'(x).
  • Aqui F é a função externa e u a função interna. O produto significa: deriva-se a externa em relação a u e multiplica-se pela derivada da interna em relação a x.
Regra da potência (um caso particular útil):
  • Se F(u)=u^{n} com n constante, então F'(u)=n u^{n-1}.
Regra do quociente (explicação):
  • Se u(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} com g e h diferenciáveis e h(x)\neq0, então
u'(x)=\frac{h(x)\,g'(x)-g(x)\,h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
  • Ou seja: derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Derivada de x^{\alpha} (explicação):
  • Para \alpha constante real, vale a regra do poder:
\frac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}.
Agora aplico essas regras ao problema concreto.

Passo 3

Definir a função interna para usar a cadeia. Coloco
u(x)=\frac{x^{\alpha}+1}{x^{2}-1}, \qquad y(u)=u^{3}.
Pela regra da cadeia e da potência:
\frac{dy}{dx}=3\,u^{2}\cdot u'(x).
Ou explicitamente,
\frac{dy}{dx}=3\left(\frac{x^{\alpha}+1}{x^{2}-1}\right)^{2} \cdot u'(x).
Agora preciso calcular u'(x) aplicando a regra do quociente.

Passo 4

Calcular u'(x) com o quociente. Aqui g(x)=x^{\alpha}+1 e h(x)=x^{2}-1.
Calculo g'(x) e h'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}(x^{\alpha}+1)=\alpha x^{\alpha-1}, \qquad h'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x.
Aplicando a regra do quociente,
u'(x)=\frac{(x^{2}-1)\cdot(\alpha x^{\alpha-1}) - (x^{\alpha}+1)\cdot(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

Substituir u'(x) em \dfrac{dy}{dx}. Temos
\frac{dy}{dx} =3\left(\frac{x^{\alpha}+1}{x^{2}-1}\right)^{2} \cdot \frac{(x^{2}-1)\,\alpha x^{\alpha-1} - 2x\,(x^{\alpha}+1)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Agora juntar as frações: o primeiro fator tem denominador (x^{2}-1)^{2} (porque o quadrado da fração), e o segundo fator tem denominador (x^{2}-1)^{2}. Multiplicando, o denominador total fica (x^{2}-1)^{4}. O numerador é o produto dos numeradores.

Passo 6

Escrever a expressão final organizada (sem pular passos algébricos):
\frac{dy}{dx} = \frac{3\,(x^{\alpha}+1)^{2}\,\big(\alpha x^{\alpha-1}(x^{2}-1)-2x(x^{\alpha}+1)\big)}{(x^{2}-1)^{4}}.
Essa é uma forma bastante clara e compacta da derivada. Posso, se quiser, indicar a forma factorizada ou expandida, mas essa é adequada para a prova: combina todas as regras usadas e está em termos de x e \alpha.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para dar intuição (não altera a resposta geral): se \alpha=2 então x^{\alpha}=x^{2} e substituindo dá
\frac{dy}{dx} = \frac{3\,(x^{2}+1)^{2}\,\big(2x^{1}(x^{2}-1)-2x(x^{2}+1)\big)}{(x^{2}-1)^{4}},
que pode ser simplificado further nesse caso específico; mas isso é só para ver que a fórmula geral funciona com qualquer \alpha.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{3\,(x^{\alpha}+1)^{2}\,\big(\alpha x^{\alpha-1}(x^{2}-1)-2x(x^{\alpha}+1)\big)}{(x^{2}-1)^{4}}

Exercícios relacionados