- Encontre a derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada de
Informações e pedidos claros:
- A função dependente é
e a variável independente é . -
é um parâmetro (uma constante) cujo valor não foi dado; portanto a derivada deve ser em termos de e . - Objetivo: calcular
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Plano de resolução (sem ainda calcular): aplicar a regra da cadeia para a potência externa e, dentro dela, diferenciar a função quociente usando a regra do quociente. Vou agora ensinar as regras que vou usar, passo a passo e de forma didática.
Regra da cadeia (explicação):
- Se
, onde depende de e é uma função de , então
- Aqui
é a função externa e a função interna. O produto significa: deriva-se a externa em relação a e multiplica-se pela derivada da interna em relação a .
Regra da potência (um caso particular útil):
- Se
com constante, então .
Regra do quociente (explicação):
- Se
com e diferenciáveis e , então
- Ou seja: derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Derivada de
(explicação):
- Para
constante real, vale a regra do poder:
Agora aplico essas regras ao problema concreto.
Passo 3
Definir a função interna para usar a cadeia. Coloco
Pela regra da cadeia e da potência:
Ou explicitamente,
Agora preciso calcular
aplicando a regra do quociente.
Passo 4
Calcular
com o quociente. Aqui
e
.
Calculo e
:
Calculo
Aplicando a regra do quociente,
Passo 5
Substituir
em
. Temos
Agora juntar as frações: o primeiro fator tem denominador
(porque o quadrado da fração), e o segundo fator tem denominador
. Multiplicando, o denominador total fica
. O numerador é o produto dos numeradores.
Passo 6
Escrever a expressão final organizada (sem pular passos algébricos):
Essa é uma forma bastante clara e compacta da derivada. Posso, se quiser, indicar a forma factorizada ou expandida, mas essa é adequada para a prova: combina todas as regras usadas e está em termos de
e
.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para dar intuição (não altera a resposta geral): se
então
e substituindo dá
que pode ser simplificado further nesse caso específico; mas isso é só para ver que a fórmula geral funciona com qualquer
.