1. Encontre a derivada de y=\operatorname{sec} ^{2}(x)+\tan ^{2}(x).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada de y=\operatorname{sec}^{2}(x)+\tan^{2}(x).
Informações dadas:
  • A função y é a soma de duas funções: \operatorname{sec}^{2}(x) e \tan^{2}(x).
    O que se quer: calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras e fórmulas que vamos usar (com explicações bem claras):
  • Derivada de uma soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se y=u(x)+v(x) então y'=u'(x)+v'(x).
  • Regra da cadeia (para potências compostas): se F(x)=(g(x))^{2}, pode-se ver F como composição f\circ g com f(u)=u^{2}. A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f'(u)=2u. Então, ao derivar g(x)^{2} obtemos 2g(x)\cdot g'(x). Isso é só a regra “derivar a potência (2u) e multiplicar pela derivada do interno”.
  • Derivadas trigonométricas básicas que usaremos:
\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x), \qquad \frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Breve intuição: a derivada de \tan é \operatorname{sec}^{2} e a de \operatorname{sec} envolve ambas \operatorname{sec} e \tan (é uma consequência de \operatorname{sec} x = 1/\cos x e da regra do quociente ou regra da cadeia).

Passo 3

Aplicando a regra da soma:
y'=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{2}(x)\big)+\frac{d}{dx}\big(\tan^{2}(x)\big).
Agora vamos derivar cada termo separadamente usando a regra da cadeia.

Passo 4

Derivada de \operatorname{sec}^{2}(x).
  • Tome g(x)=\operatorname{sec}(x). Então \operatorname{sec}^{2}(x)=(g(x))^{2}.
  • Pelo item anterior, \dfrac{d}{dx}(g(x))^{2}=2g(x)\,g'(x).
  • Sabendo que g'(x)=\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x), obtemos:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{2}(x)\big)=2\operatorname{sec}(x)\cdot\big(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x).

Passo 5

Derivada de \tan^{2}(x).
  • Tome h(x)=\tan(x). Então \tan^{2}(x)=(h(x))^{2}.
  • Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}(h(x))^{2}=2h(x)\,h'(x).
  • Como h'(x)=\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x), vem:
\frac{d}{dx}\big(\tan^{2}(x)\big)=2\tan(x)\cdot\operatorname{sec}^{2}(x)=2\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 6

Somando as duas derivadas:
y'=2\operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x)+2\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x).
As duas parcelas são iguais, então podemos somar coeficientes:
y'=4\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 7

Verificação alternativa (checagem rápida, útil na prova):
  • Usando a identidade \operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x), podemos escrever
y=\operatorname{sec}^{2}(x)+\tan^{2}(x)=1+2\tan^{2}(x).
  • Derivando: y'=0+2\cdot 2\tan(x)\cdot\operatorname{sec}^{2}(x)=4\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x), que confirma o resultado anterior.

Resposta

y'=4\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)

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