- Encontre a derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função
é a soma de duas funções: e .
O que se quer: calcular, a derivada de em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras e fórmulas que vamos usar (com explicações bem claras):
- Derivada de uma soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra da cadeia (para potências compostas): se
, pode-se ver como composição com . A regra da cadeia diz:
Aqui
. Então, ao derivar
obtemos
. Isso é só a regra “derivar a potência (2u) e multiplicar pela derivada do interno”.
- Derivadas trigonométricas básicas que usaremos:
Breve intuição: a derivada de
é
e a de
envolve ambas
e
(é uma consequência de
e da regra do quociente ou regra da cadeia).
Passo 3
Aplicando a regra da soma:
Agora vamos derivar cada termo separadamente usando a regra da cadeia.
Passo 4
Derivada de
.
- Tome
. Então . - Pelo item anterior,
. - Sabendo que
, obtemos:
Passo 5
Derivada de
.
- Tome
. Então . - Pela regra da cadeia,
. - Como
, vem:
Passo 6
Somando as duas derivadas:
As duas parcelas são iguais, então podemos somar coeficientes:
Passo 7
Verificação alternativa (checagem rápida, útil na prova):
- Usando a identidade
, podemos escrever
- Derivando:
, que confirma o resultado anterior.