- Encontre a derivada de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada em relação a
.
Informações relevantes que recebemos do enunciado:
Informações relevantes que recebemos do enunciado:
- A função dependente é
e a variável independente é . - A expressão dentro do cosseno é
.
Preciso decidir o que são
e
. Como a função está escrita como
, a interpretação útil para a prova é que
e
são funções de
, isto é,
e
, e que são diferenciáveis. (Se
e
fossem constantes, então a derivada seria
; menciono isso só para não deixar dúvida.)
O objetivo: calcular
.
Passo 2
Ferramenta principal: regra da cadeia para função composta. Vou relembrar e explicar essa regra de forma simples.
Regra da cadeia (forma prática): se
onde
depende de
, então
O que isso diz em palavras: primeiro derivamos a função externa (
) em função de sua entrada
, que dá
; depois multiplicamos pelo derivado da entrada
em relação a
. É um produto: derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna. Aqui
é chamada de função interna.
Passo 3
Identificamos a função interna. Definimos
Aplicando a regra da cadeia com
obtemos
Substituindo
de volta,
Passo 4
Usamos agora que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Assim
Cada termo será tratado com a regra do poder composta (que é um caso da regra da cadeia): se
então
, onde
.
Passo 5
Calculemos
. Aplicando o caso geral:
Aqui escrevemos
também como
quando for mais curto; significa a derivada de
em relação a
.
Explicação rápida do porquê: pensar em
. A derivada de
em relação a
é
. Como
depende de
, pela cadeia multiplicamos por
.
Passo 6
Analogamente,
Passo 7
Somando as duas partes temos
Voltando à expressão de
:
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 8
Checagem rápida com um exemplo simples para fixar a ideia: se
e
, então
e
. Substituindo na fórmula:
o que é um exemplo concreto de aplicação.
Observação final: se
e
fossem constantes (não funções de
), então
e a derivada seria
; por isso a hipótese de que
e
dependem de
é crucial para a forma geral acima.