1. Encontre a derivada de y(x)=\cos \left(a^{3}+b^{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=\cos\!\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr) e pede para encontrar a derivada em relação a x.
Informações relevantes que recebemos do enunciado:
  • A função dependente é y e a variável independente é x.
  • A expressão dentro do cosseno é a^{3}+b^{3}.
Preciso decidir o que são a e b. Como a função está escrita como y(x), a interpretação útil para a prova é que a e b são funções de x, isto é, a=a(x) e b=b(x), e que são diferenciáveis. (Se a e b fossem constantes, então a derivada seria 0; menciono isso só para não deixar dúvida.)
O objetivo: calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Ferramenta principal: regra da cadeia para função composta. Vou relembrar e explicar essa regra de forma simples.
Regra da cadeia (forma prática): se y=\cos(u(x)) onde u depende de x, então
\frac{dy}{dx} = -\sin\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot \frac{du}{dx}.
O que isso diz em palavras: primeiro derivamos a função externa ( \cos) em função de sua entrada u, que dá -\sin(u); depois multiplicamos pelo derivado da entrada u em relação a x. É um produto: derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna. Aqui u(x) é chamada de função interna.

Passo 3

Identificamos a função interna. Definimos
u(x) = a(x)^{3} + b(x)^{3}.
Aplicando a regra da cadeia com y=\cos(u(x)) obtemos
\frac{dy}{dx} = -\sin\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot \frac{du}{dx}.
Substituindo u(x) de volta,
\frac{dy}{dx} = -\sin\!\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr).

Passo 4

Usamos agora que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(a^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(b^{3}\bigr).
Cada termo será tratado com a regra do poder composta (que é um caso da regra da cadeia): se v=v(x) então \dfrac{d}{dx}v^{3}=3v^{2}\,v', onde v'=\dfrac{dv}{dx}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{d}{dx}\bigl(a^{3}\bigr). Aplicando o caso geral:
\frac{d}{dx}\bigl(a^{3}\bigr)=3\,a^{2}\cdot \frac{da}{dx}.
Aqui escrevemos \dfrac{da}{dx} também como a' quando for mais curto; significa a derivada de a(x) em relação a x.
Explicação rápida do porquê: pensar em a^{3}=(a)^{3}. A derivada de t^{3} em relação a t é 3t^{2}. Como t=a(x) depende de x, pela cadeia multiplicamos por dt/dx = a'(x).

Passo 6

Analogamente,
\frac{d}{dx}\bigl(b^{3}\bigr)=3\,b^{2}\cdot \frac{db}{dx}.

Passo 7

Somando as duas partes temos
\frac{d}{dx}\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)=3\,a^{2}\,a'(x)+3\,b^{2}\,b'(x).
Voltando à expressão de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\sin\!\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\cdot\bigl(3\,a^{2}\,a'(x)+3\,b^{2}\,b'(x)\bigr).
Podemos fatorar 3 para ficar mais compacto:
\frac{dy}{dx}=-3\,\sin\!\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\,\bigl(a^{2}\,a'(x)+b^{2}\,b'(x)\bigr).

Passo 8

Checagem rápida com um exemplo simples para fixar a ideia: se a(x)=x e b(x)=2x, então a'=1 e b'=2. Substituindo na fórmula:
\frac{dy}{dx}=-3\sin\!\bigl(x^{3}+(2x)^{3}\bigr)\bigl(x^{2}\cdot1+(2x)^{2}\cdot2\bigr),
o que é um exemplo concreto de aplicação.
Observação final: se a e b fossem constantes (não funções de x), então a'=b'=0 e a derivada seria 0; por isso a hipótese de que a e b dependem de x é crucial para a forma geral acima.

Resposta

\displaystyle y'(x)=-3\,\sin\!\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr)\,\bigl(a^{2}\,a'(x)+b^{2}\,b'(x)\bigr)

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