- Encontre a derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada de
.
Informações dadas:
- A função é a composição de três funções:
dentro de dentro de . - A tarefa é calcular
.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar de um jeito direto.
Se temos uma composição
, a regra da cadeia diz que
Isto significa: derivar a função externa mantendo a interna como está, e multiplicar pela derivada da função interna. Exemplo simples: se
, então
Aqui
é a derivada da
, e depois multiplica-se pela derivada do argumento
.
Passo 3
Identificar explicitamente as camadas (isso facilita aplicar a regra da cadeia em etapas):
Ou seja:
- primeiro nível (mais interno):
; - segundo nível:
; - terceiro nível (externo):
.
Passo 4
Vou calcular as derivadas das funções elementares que aparecem (e explicar rapidamente por que são essas):
- Derivada de
em relação a é . Isso é padrão: . - Derivada de
em relação a é : . - Derivada de
em relação a é , que também pode ser escrita como . Ou seja .
Motivo curto para: e derivando com quociente chega-se a .
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia etapa por etapa.
Primeiro, derivar a parte externa
:
Agora derivar
:
E finalmente
:
Juntando tudo:
Substituindo
,
e
:
Colocando o sinal negativo na frente e escrevendo de forma limpa:
Se preferir, dá para escrever
como
, obtendo a forma alternativa
Passo 6
Resumo didático final do método para usar na prova:
- Identifique as camadas internas da composição (de dentro para fora).
- Aplique a regra da cadeia repetidamente: derive a função externa preservando a interna, depois multiplique pela derivada da interna; repita até chegar à variável
. - Substitua de volta os nomes das funções internas para obter a expressão em termos de
. - Conheça as derivadas básicas:
, , .
Boa! Com isso você consegue resolver composições aninhadas como essa seguindo o mesmo procedimento passo a passo.