1. Encontre a derivada de y=\sin (\cos (\tan (x))).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada de y=\sin(\cos(\tan(x))).
Informações dadas:
  • A função é a composição de três funções: \tan(x) dentro de \cos(\cdot) dentro de \sin(\cdot).
  • A tarefa é calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar de um jeito direto.
Se temos uma composição y=f(g(x)), a regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa mantendo a interna como está, e multiplicar pela derivada da função interna. Exemplo simples: se y=\sin(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui \cos(\cdot) é a derivada da \sin(\cdot), e depois multiplica-se pela derivada do argumento u(x).

Passo 3

Identificar explicitamente as camadas (isso facilita aplicar a regra da cadeia em etapas):
u(x)=\tan(x), \qquad v(x)=\cos\big(u(x)\big)=\cos(\tan(x)), \qquad y=\sin\big(v(x)\big)=\sin(\cos(\tan(x))).
Ou seja:
  • primeiro nível (mais interno): u(x)=\tan(x);
  • segundo nível: v(x)=\cos(u(x));
  • terceiro nível (externo): y=\sin(v(x)).

Passo 4

Vou calcular as derivadas das funções elementares que aparecem (e explicar rapidamente por que são essas):
  • Derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t). Isso é padrão: \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
  • Derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t): \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
  • Derivada de \tan(x) em relação a x é \operatorname{sec}^2(x), que também pode ser escrita como \dfrac{1}{\cos^2(x)}. Ou seja \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}.
    Motivo curto para \tan: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e derivando com quociente chega-se a \operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia etapa por etapa.
Primeiro, derivar a parte externa y=\sin(v(x)):
\frac{dy}{dx}=\cos\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
Agora derivar v(x)=\cos(u(x)):
v'(x)=-\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
E finalmente u(x)=\tan(x):
u'(x)=\operatorname{sec}^2(x).
Juntando tudo:
\frac{dy}{dx}=\cos\big(v(x)\big)\cdot\big(-\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x)\big).
Substituindo v(x)=\cos(\tan x), u(x)=\tan x e u'(x)=\operatorname{sec}^2 x:
\frac{dy}{dx}=\cos\big(\cos(\tan x)\big)\cdot\big(-\sin(\tan x)\cdot\operatorname{sec}^2 x\big).
Colocando o sinal negativo na frente e escrevendo de forma limpa:
\frac{dy}{dx}=-\cos\big(\cos(\tan x)\big)\,\sin(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x.
Se preferir, dá para escrever \operatorname{sec}^2 x como \dfrac{1}{\cos^2 x}, obtendo a forma alternativa
\frac{dy}{dx}=-\cos\big(\cos(\tan x)\big)\,\sin(\tan x)\,\frac{1}{\cos^2 x}.

Passo 6

Resumo didático final do método para usar na prova:
  • Identifique as camadas internas da composição (de dentro para fora).
  • Aplique a regra da cadeia repetidamente: derive a função externa preservando a interna, depois multiplique pela derivada da interna; repita até chegar à variável x.
  • Substitua de volta os nomes das funções internas para obter a expressão em termos de x.
  • Conheça as derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x.
Boa! Com isso você consegue resolver composições aninhadas como essa seguindo o mesmo procedimento passo a passo.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\cos\big(\cos(\tan x)\big)\,\sin(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x

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