Encontre a derivada y^{\prime}=d y / d x :
y=\left(1-x^{5}\right) e^{-x};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (1 - x^5)\,e^{-x}
para obter y' = \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que temos a multiplicação de duas funções de x:
f(x) = 1 - x^5 e g(x) = e^{-x}.

Passo 2

Calcular a derivada de f(x) = 1 - x^5.
Pela regra de potência,
f'(x) = -5x^4.

Passo 3

Calcular a derivada de g(x) = e^{-x}.
Pela regra da cadeia, a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)} com u(x)=-x e u'(x)=-1. Logo,
g'(x) = -1 \cdot e^{-x} = -e^{-x}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
Substituindo f, f', g e g':
y' = \bigl(-5x^4\bigr)e^{-x} + \bigl(1 - x^5\bigr)\bigl(-e^{-x}\bigr).

Passo 5

Fatorar e^{-x} em evidência e simplificar:
y' = e^{-x}\bigl(-5x^4 - (1 - x^5)\bigr) = e^{-x}\bigl(-5x^4 -1 + x^5\bigr) = e^{-x}\bigl(x^5 - 5x^4 - 1\bigr).

Resposta

y' = e^{-x}\bigl(x^5 - 5x^4 - 1\bigr).

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