Questão 3:
Encontre uma equação da reta tangente à curva f(x):=3 x^{3}-2 x^{2} no ponto ( 1,1 ).

Passo 1

O enunciado nos fornece a função \displaystyle f(x)=3x^{3}-2x^{2} e solicita a equação da reta tangente em (1,1). Para isso, precisamos usar a derivada, pois ela nos dá a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 2

Para obter a inclinação, calculamos a derivada de f usando a regra do poder, que diz \frac{d}{dx}[x^{n}]=nx^{n-1}. Como f(x)=3x^{3}-2x^{2}, temos:
f'(x)=9x^{2}-4x

Passo 3

A inclinação da reta tangente em x=1 é
f'(1)=9\cdot1^{2}-4\cdot1=9-4=5.
Logo, o coeficiente angular é m=5.

Passo 4

Com o coeficiente angular m=5 e o ponto (x_{0},y_{0})=(1,1), usamos a forma ponto-inclinação:
y-1=5(x-1).
Expandindo, obtemos
y=5x-5+1=5x-4.

Resposta

A equação da reta tangente é \displaystyle y=5x-4.

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