Encontre a derivada y^{\prime}=d y / d x :
y=\left(1-x e^{x}\right)\left(x+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá
y=(1 - x e^{x})\,(x + x^{3})
e pede a derivada y' = \dfrac{dy}{dx}.
O conteúdo aqui é a regra do produto e, no caso de x e^{x}, também a regra do produto para derivar esse termo.

Passo 2

Separemos em
f(x) = 1 - x e^{x}
e
g(x) = x + x^{3}.
Pela regra do produto,
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 3

Calculemos f'(x).
Como f(x)=1 - x e^{x}, temos
f'(x) = 0 - \frac{d}{dx}\bigl(x e^{x}\bigr).
Para \dfrac{d}{dx}(x e^{x}) usamos produto:
\frac{d}{dx}(x e^{x}) = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x} + x e^{x}.
Logo
f'(x) = -\bigl(e^{x} + x e^{x}\bigr) = -e^{x}(1 + x).

Passo 4

Calculemos g'(x).
Como g(x)=x + x^{3}, basta derivar termo a termo:
g'(x) = 1 + 3x^{2}.

Passo 5

Aplique a regra do produto:
y' = \bigl[-e^{x}(1 + x)\bigr]\,(x + x^{3}) \;+\;(1 - x e^{x})\,(1 + 3x^{2}).

Passo 6

Se quisermos simplificar, podemos expandir em partes. Por exemplo, a primeira parcela é
-e^{x}(1 + x)(x + x^{3}) = -e^{x}x\,(1 + x)(1 + x^{2}),
e a segunda parcela é
(1 - x e^{x})(1 + 3x^{2}) = 1 + 3x^{2} - x e^{x} - 3x^{3}e^{x}.
Reagrupando os termos com e^{x} e sem e^{x}, chega-se a
y' = 1 + 3x^{2} \;-\; e^{x}\bigl(2x + x^{2} + 4x^{3} + x^{4}\bigr).

Resposta

y' = -e^{x}(1 + x)(x + x^{3}) + (1 - x e^{x})(1 + 3x^{2}),
ou, de forma simplificada,
y' = 1 + 3x^{2} \;-\; e^{x}\bigl(2x + x^{2} + 4x^{3} + x^{4}\bigr).

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