Encontre a derivada y^{\prime}=d y / d x :
y=\sqrt{x} \operatorname{sen} x;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sqrt{x}\,\sin x
Esse problema envolve o conteúdo de derivadas de funções elementares, em especial a regra do produto e as derivadas de uma potência e da função trigonométrica seno.

Passo 2

Vamos escrever
f(x) = \sqrt{x} = x^{\tfrac12}
g(x) = \sin x
e aplicar a regra do produto, que diz
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\,g(x)\bigr] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
Para f(x)=x^{\tfrac12}, usa-se a regra da potência:
f'(x) = \frac12\,x^{-\tfrac12} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Para g(x)=\sin x, a derivada é
g'(x)=\cos x.

Passo 4

Substituindo na regra do produto:
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\sin x + \sqrt{x}\,\cos x.

Resposta

y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos x.

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