Questão 1:
Determine os valores a e b para que a função f abaixo seja contínua em toda a reta.
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{3}-8}{x-2} ; & \text { se } x<2 \\\ a x+b ; & \text { se } 2 \leq x \leq 3 \\\ x^{2}-2 x ; & \text { se } x>3\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{3}-8}{x-2},&x<2,\\\ a\,x+b,&2\le x\le3,\\\ x^{2}-2x,&x>3, \end{cases}
e pede a e b tais que f seja contínua em toda a reta. Como há quebras em x=2 e x=3, vamos impor continuidade nesses pontos, ou seja, limite à esquerda = valor da função = limite à direita.

Passo 2

Para x\to2^- usamos
\frac{x^3-8}{x-2} =\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} =x^2+2x+4.
Logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=2^2+2\cdot2+4=4+4+4=12.

Passo 3

O valor de f em x=2 vem do ramo do meio, isto é
f(2)=a\cdot2+b=2a+b.
Para continuidade em 2 exige-se
2a+b=12. \tag{1}

Passo 4

Para x\to3^+ usamos o ramo de x>3:
\lim_{x\to3^+}f(x)=3^2-2\cdot3=9-6=3.
E f(3) pelo ramo do meio é
f(3)=a\cdot3+b=3a+b.
Portanto a continuidade em 3
3a+b=3. \tag{2}

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2a+b=12,\\\\ 3a+b=3, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda: a=-9. Substituindo em ( 1):
2(-9)+b=12\implies -18+b=12\implies b=30.

Resposta

a=-9,\;b=30

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