Questão 3:
Ache os pontos sobre a curva
onde a tangente é horizontal. Também encontre os pontos sobre a mesma curva onde a segunda derivada é 1 .
Ache os pontos sobre a curva
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede dois itens:
- Os pontos onde a reta tangente é horizontal (isto é, onde a derivada primeira é zero).
- Os pontos onde a segunda derivada vale
.
Passo 2
Para achar os pontos de tangente horizontal, primeiro calculamos a derivada primeira, que dá o coeficiente angular da reta tangente:
Em seguida, igualamos a zero para encontrar os
críticos:
ou seja,
Passo 3
Agora obtemos as coordenadas desses pontos substituindo na equação da curva.
Para :
Para
Para
:
Logo, os pontos de tangente horizontal são
e
.
Passo 4
Para achar onde a segunda derivada vale
, calculamos
Igualando a
:
Passo 5
Finalmente, substituímos
em
para obter a coordenada
:
Passo a passo:
portanto
O ponto pedido é
.
Resposta
Os pontos onde a tangente é horizontal são
O ponto onde a segunda derivada vale
é