Questão 3:
Ache os pontos sobre a curva y=2 x^{3}+3 x^{2}-12 x+1 onde a tangente é horizontal. Também encontre os pontos sobre a mesma curva onde a segunda derivada é 1 .

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1
e pede dois itens:
  1. Os pontos onde a reta tangente é horizontal (isto é, onde a derivada primeira é zero).
  2. Os pontos onde a segunda derivada vale 1.

Passo 2

Para achar os pontos de tangente horizontal, primeiro calculamos a derivada primeira, que dá o coeficiente angular da reta tangente:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1\bigr) = 6x^{2} + 6x - 12 = 6\,(x^{2} + x - 2).
Em seguida, igualamos a zero para encontrar os x críticos:
x^{2} + x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2},
ou seja,
x = 1 \quad\text{e}\quad x = -2.

Passo 3

Agora obtemos as coordenadas desses pontos substituindo na equação da curva.
Para x = 1:
y = 2(1)^{3} + 3(1)^{2} - 12(1) + 1 = 2 + 3 - 12 + 1 = -6.
Para x = -2:
y = 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 12(-2) + 1 = 2(-8) + 3(4) + 24 + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21.
Logo, os pontos de tangente horizontal são (1,-6) e (-2,21).

Passo 4

Para achar onde a segunda derivada vale 1, calculamos
y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(6x^{2} + 6x - 12) = 12x + 6.
Igualando a 1:
12x + 6 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 12x = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{5}{12}.

Passo 5

Finalmente, substituímos x = -\tfrac{5}{12} em y para obter a coordenada y:
y = 2\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr)^{3} + 3\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr)^{2} -12\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr) + 1.
Passo a passo:
2\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr)^{3} = 2\Bigl(-\tfrac{125}{1728}\Bigr) = -\tfrac{250}{1728} = -\tfrac{125}{864},
3\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr)^{2} = 3\Bigl(\tfrac{25}{144}\Bigr) = \tfrac{75}{144} = \tfrac{25}{48},
-12\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr) = 5,
portanto
y = -\tfrac{125}{864} + \tfrac{25}{48} + 5 + 1 = -\tfrac{125}{864} + \tfrac{450}{864} + \tfrac{5184}{864} = \tfrac{5509}{864}.
O ponto pedido é \bigl(-\tfrac{5}{12},\,\tfrac{5509}{864}\bigr).

Resposta

Os pontos onde a tangente é horizontal são
(1,-6) \quad\text{e}\quad (-2,21).
O ponto onde a segunda derivada vale 1 é
\Bigl(-\tfrac{5}{12},\,\tfrac{5509}{864}\Bigr).

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