Questão 1:
Calcule o seguinte limite \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{13-3 x+13 x^{2}+6 x^{3}}{\sqrt{4 x^{6}+33 x^{2}-44}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{13 - 3x + 13x^{2} + 6x^{3}}{\sqrt{4x^{6} + 33x^{2} - 44}}.
O conteúdo envolvido é limite de funções racionais e radicais para x\to\infty. Vamos usar a ideia de fatorar a potência dominante.

Passo 2

Observamos que o numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é a raiz de um polinômio de grau 6, ou seja,
\sqrt{4x^{6} + 33x^{2} - 44}
tem comportamento assintótico de um termo de grau 3.

Passo 3

Fatoramos x^{3} no numerador e x^{6} dentro da raiz no denominador:
13 - 3x + 13x^{2} + 6x^{3} = x^{3}\Bigl(6 + \tfrac{13}{x} - \tfrac{3}{x^{2}} + \tfrac{13}{x^{3}}\Bigr),
\sqrt{4x^{6} + 33x^{2} - 44} = \sqrt{x^{6}\Bigl(4 + \tfrac{33}{x^{4}} - \tfrac{44}{x^{6}}\Bigr)} = x^{3}\,\sqrt{4 + \tfrac{33}{x^{4}} - \tfrac{44}{x^{6}}}.

Passo 4

Substituímos essas expressões na fração e simplificamos o fator x^{3}:
\frac{13 - 3x + 13x^{2} + 6x^{3}}{\sqrt{4x^{6} + 33x^{2} - 44}} = \frac{x^{3}\bigl(6 + \tfrac{13}{x} - \tfrac{3}{x^{2}} + \tfrac{13}{x^{3}}\bigr)} {x^{3}\sqrt{4 + \tfrac{33}{x^{4}} - \tfrac{44}{x^{6}}}} = \frac{6 + \tfrac{13}{x} - \tfrac{3}{x^{2}} + \tfrac{13}{x^{3}}} {\sqrt{4 + \tfrac{33}{x^{4}} - \tfrac{44}{x^{6}}}}.

Passo 5

Ao fazer x\to\infty, os termos \tfrac{1}{x}, \tfrac{1}{x^{2}}, \tfrac{1}{x^{3}}, \tfrac{1}{x^{4}} e \tfrac{1}{x^{6}} tendem a zero. Logo,
\lim_{x\to\infty} \frac{6 + \tfrac{13}{x} - \tfrac{3}{x^{2}} + \tfrac{13}{x^{3}}} {\sqrt{4 + \tfrac{33}{x^{4}} - \tfrac{44}{x^{6}}}} = \frac{6 + 0 - 0 + 0}{\sqrt{4 + 0 - 0}} = \frac{6}{2} = 3.

Resposta

O limite é 3.

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