Encontre a derivada de y em relação à variável apropriada.
y=\operatorname{arc} \operatorname{cosec} x / 2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{\arcsrc x}{2}
onde \arcsrc x é a função inversa da cosecante. Vamos usar a fórmula de derivada de \arcsrc x e a regra da constante.

Passo 2

Recordando a derivada de \arcsrc x:
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsrc x\bigr) = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}.

Passo 3

Como há um fator constante 1/2, aplicamos a regra
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(\arcsrc x\bigr) = \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}\Bigr) = -\frac{1}{2\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}.

Exercícios relacionados