Seja f(x)=\cos x+3 x.
(a) Mostre que f tem uma inversa derivável.
(b) Determine f(0) e f^{\prime}(0).
(c) Determine f^{-1}(1) \mathrm{e}\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = \cos(x) + 3x
e pede:
(a) mostrar que f tem inversa derivável;
(b) calcular f(0) e f'(0);
(c) encontrar f^{-1}(1) e (f^{-1})'(1).
Vamos usar o teste da monotonicidade via a derivada e, em seguida, o Teorema da Função Inversa.

Passo 2

Para verificar a monotonicidade de f, computamos sua derivada:
f'(x) = -\sin(x) + 3.
Como -1 \le \sin(x) \le 1, temos -\sin(x) \ge -1 e, portanto,
-\sin(x) + 3 \ge 2 > 0.
Logo f'(x)>0 para todo x, o que implica que f é estritamente crescente e contínua. Assim, f tem inversa e, pelo Teorema da Função Inversa, essa inversa é derivável.

Passo 3

Calculamos agora f(0) e f'(0). Em x=0:
f(0) = \cos(0) + 3\cdot0 = 1,
f'(0) = -\sin(0) + 3 = 3.

Passo 4

Para achar f^{-1}(1), resolvemos
\cos(x) + 3x = 1.
Observa-se que x=0 satisfaz essa equação e, devido à estrita monotonicidade, é a única solução. Portanto
f^{-1}(1) = 0.
Pela fórmula da derivada da inversa, para todo y no domínio de f^{-1}:
(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
Logo, em y=1:
(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}.

Resposta

(a) f tem inversa derivável porque f'(x)=-\sin(x)+3>0 garante que f é estritamente crescente e aplica-se o Teorema da Função Inversa.
(b) f(0)=1 e f'(0)=3.
(c) f^{-1}(1)=0 e \bigl(f^{-1}\bigr)'(1)=\tfrac{1}{3}.

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