Seja
.
(a) Mostre que
tem uma inversa derivável.
(b) Determine
e
.
(c) Determine
.
(a) Mostre que
(b) Determine
(c) Determine
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) mostrar que tem inversa derivável;
(b) calcular e
;
(c) encontrar e
.
Vamos usar o teste da monotonicidade via a derivada e, em seguida, o Teorema da Função Inversa.
(a) mostrar que
(b) calcular
(c) encontrar
Vamos usar o teste da monotonicidade via a derivada e, em seguida, o Teorema da Função Inversa.
Passo 2
Para verificar a monotonicidade de
, computamos sua derivada:
Como
, temos
e, portanto,
Logo
para todo
, o que implica que
é estritamente crescente e contínua. Assim,
tem inversa e, pelo Teorema da Função Inversa, essa inversa é derivável.
Passo 3
Calculamos agora
e
. Em
:
Passo 4
Para achar
, resolvemos
Observa-se que
satisfaz essa equação e, devido à estrita monotonicidade, é a única solução. Portanto
Pela fórmula da derivada da inversa, para todo
no domínio de
:
Logo, em
:
Resposta
(a)
tem inversa derivável porque
garante que
é estritamente crescente e aplica-se o Teorema da Função Inversa.
(b) e
.
(c) e
.
(b)
(c)