Encontre as derivadas de:
(c) f(x)=\operatorname{arcsec}(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função f(x)=\operatorname{arcsec}\!\bigl(1/x\bigr).
Informações dadas: a função explícita é f(x)=\operatorname{arcsec}\!\bigl(1/x\bigr). Não há figura nem outra informação. O objetivo é achar f'(x).

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da cadeia: se tivermos uma função composta f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui podemos identificar g(t)=\operatorname{arcsec}(t) e u(x)=1/x. Então vamos precisar da derivada de g(t)=\operatorname{arcsec}(t) em termos de t e da derivada de u(x)=1/x. Vou ensinar como obter a derivada de \operatorname{arcsec}(t) antes de aplicar à nossa u(x).

Passo 3

Derivada de \operatorname{arcsec}(t) (mini-aula passo a passo). Seja y=\operatorname{arcsec}(t). Por definição isso significa \operatorname{sec}(y)=t. Diferenciando implicitamente em relação a t (tratando y como função de t):
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sec}(y)\bigr)=\frac{d}{dt}(t).
Usando a derivada de \operatorname{sec} e a regra da cadeia:
\operatorname{sec}(y)\tan(y)\cdot \frac{dy}{dt}=1.
Isolando \dfrac{dy}{dt} (que é a derivada de \operatorname{arcsec}(t)):
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec}(y)\tan(y)}.
Agora escrevemos \operatorname{sec}(y) e \tan(y) em função de t. Como \operatorname{sec}(y)=t, temos \operatorname{sec}^2(y)=t^2. E sabemos que \tan^2(y)=\operatorname{sec}^2(y)-1, então
\tan(y)=\sqrt{\operatorname{sec}^2(y)-1}=\sqrt{t^2-1},
onde usamos a raiz positiva porque \sqrt{\cdot} é não negativa — o sinal de \tan(y) está relacionado ao quadrante, por isso para garantir a fórmula válida em todo o domínio usamos a forma com valor absoluto em \operatorname{sec}(y). Substituindo:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}.
Para cobrir os sinais corretamente (já que \operatorname{sec}(y) pode ser negativo quando t<0), a forma correta e usual é
\frac{d}{dt}\operatorname{arcsec}(t)=\frac{1}{|t|\sqrt{t^2-1}}.
Explicação curta do valor absoluto: ele aparece porque |\operatorname{sec}(y)|=|t| e a raiz fornece valor positivo, então o denominador geral é |t|\sqrt{t^2-1}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia com u(x)=1/x. Temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}\bigl(u(x)\bigr) =\frac{u'(x)}{|u(x)|\sqrt{u(x)^2-1}}.
Calculamos u'(x) diretamente:
u(x)=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=-\frac{1}{x^2}.

Passo 5

Substituímos u(x)=1/x e u'(x)=-1/x^2 na fórmula:
f'(x)=\frac{-\dfrac{1}{x^2}}{\left| \dfrac{1}{x}\right|\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1}}.

Passo 6

Vamos simplificar o denominador passo a passo.
Primeiro, \displaystyle\left|\dfrac{1}{x}\right|=\dfrac{1}{|x|}.
Segundo,
\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1}=\sqrt{\dfrac{1-x^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x|}.
Multiplicando os dois fatores do denominador:
\left|\dfrac{1}{x}\right|\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1} =\frac{1}{|x|}\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x|} =\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2},
pois |x|\cdot|x|=x^2.
Agora a expressão para f'(x) fica
f'(x)=\frac{-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}}.
Cancelando o fator comum 1/x^2 do numerador e denominador:
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 7

Dominio e observações finais. A função original \operatorname{arcsec}(1/x) exige |1/x|\ge 1, o que equivale a |x|\le 1 com x\neq 0. A derivada que obtivemos contém \sqrt{1-x^2} no denominador, então ela é finita somente quando |x|<1. Além disso a derivada não existe em x=0 (função nem está definida) nem em x=\pm 1 (denominador zero). Portanto a fórmula final vale para
0<|x|<1,
ou seja, em (-1,0)\cup(0,1).

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad 0<|x|<1.

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