Encontre as derivadas de:
(c) f(x)=\operatorname{arcsec}(1 / x)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função f(x)=\operatorname{arcsec}\!\bigl(1/x\bigr).
Informações dadas: a função explícita é f(x)=\operatorname{arcsec}\!\bigl(1/x\bigr). Não há figura nem outra informação. O objetivo é achar f'(x).
Passo 2
Primeiro vamos usar a regra da cadeia: se tivermos uma função composta f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui podemos identificar g(t)=\operatorname{arcsec}(t) e u(x)=1/x. Então vamos precisar da derivada de g(t)=\operatorname{arcsec}(t) em termos de t e da derivada de u(x)=1/x. Vou ensinar como obter a derivada de \operatorname{arcsec}(t) antes de aplicar à nossa u(x).
Passo 3
Derivada de \operatorname{arcsec}(t) (mini-aula passo a passo). Seja y=\operatorname{arcsec}(t). Por definição isso significa \operatorname{sec}(y)=t. Diferenciando implicitamente em relação a t (tratando y como função de t):
Agora escrevemos \operatorname{sec}(y) e \tan(y) em função de t. Como \operatorname{sec}(y)=t, temos \operatorname{sec}^2(y)=t^2. E sabemos que \tan^2(y)=\operatorname{sec}^2(y)-1, então
onde usamos a raiz positiva porque \sqrt{\cdot} é não negativa — o sinal de \tan(y) está relacionado ao quadrante, por isso para garantir a fórmula válida em todo o domínio usamos a forma com valor absoluto em \operatorname{sec}(y). Substituindo:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}.
Para cobrir os sinais corretamente (já que \operatorname{sec}(y) pode ser negativo quando t<0), a forma correta e usual é
Explicação curta do valor absoluto: ele aparece porque |\operatorname{sec}(y)|=|t| e a raiz fornece valor positivo, então o denominador geral é |t|\sqrt{t^2-1}.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia com u(x)=1/x. Temos
Cancelando o fator comum 1/x^2 do numerador e denominador:
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Passo 7
Dominio e observações finais. A função original \operatorname{arcsec}(1/x) exige |1/x|\ge 1, o que equivale a |x|\le 1 com x\neq 0. A derivada que obtivemos contém \sqrt{1-x^2} no denominador, então ela é finita somente quando |x|<1. Além disso a derivada não existe em x=0 (função nem está definida) nem em x=\pm 1 (denominador zero). Portanto a fórmula final vale para