Encontre as derivadas de:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
. Informações relevantes que extraí do enunciado:
- •A função contém
, então é necessário ter , isto é . - •A função contém
. O domínio usual da função (ramo principal) é e exclui (já coberto por ). Logo o domínio natural aqui é . - •O objetivo é calcular
para os pontos do domínio onde a derivada existe (na prática , pois em as derivadas das partes ficam singulares).
Passo 2
Derivada do primeiro termo
.
Vou usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada da raiz quadrada. Se
, então
Aqui tomamos
. Pela regra da cadeia,
Calculando
. Substituindo,
Observação didática: a regra da cadeia serve sempre que temos uma função composta
. Aqui
e
. A derivada do exterior vezes a derivada do interior dá a derivada total.
Passo 3
Derivada de
.
Vou derivar a partir da definição inversa. Seja
Isso significa por definição inversa que
com
no ramo principal de
(normalmente
,
). Diferenciando ambos os lados em relação a
, aplicando derivada implícita (lembrando que
e
é o que queremos):
Isolando
,
Agora expressamos tudo em termos de
. Como
, temos
Usamos a identidade trigonométrica
. Como
,
Aqui entra um detalhe sobre o sinal: no ramo principal de
a tangente tem sinal igual ao sinal de
vezes algo? Melhor raciocinar assim: para
tem-se
e
, então
. Para
tem-se
e
, então
. Em ambos os casos o produto
é igual a
. Portanto
Substituindo na expressão de
,
Esta é a fórmula padrão da derivada da arcsecância: prestar atenção ao valor absoluto em
.
Passo 4
Combinar as derivadas para obter
.
Temos
Como
, pela linearidade da derivada:
Podemos juntar o denominador comum
:
Passo 5
Simplificar e apresentar formas alternativas (úteis para prova).
A expressão com valor absoluto é correta e compacta:
Se você preferir uma forma sem valor absoluto, dá para escrever de modo separado para
e
:
- Se
então e
- Se
então e
Observe que em ambos os casos a derivada está definida apenas para
(em
as expressões explodem porque
no denominador).