Encontre as derivadas de:
(f) g(t)=\sqrt{t^{2}-1}-\operatorname{arcsec}(t)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(t)=\sqrt{t^{2}-1}-\operatorname{arcsec}(t)
e pede a derivada g'(t). Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A função contém \sqrt{t^{2}-1}, então é necessário ter t^{2}-1\ge 0, isto é \left|t\right|\ge 1.
  • A função contém \operatorname{arcsec}(t). O domínio usual da função \operatorname{arcsec} (ramo principal) é \left|t\right|\ge 1 e exclui t=0 (já coberto por \left|t\right|\ge1). Logo o domínio natural aqui é \{t\mid \left|t\right|\ge 1\}.
  • O objetivo é calcular g'(t) para os pontos do domínio onde a derivada existe (na prática \left|t\right|>1, pois em \left|t\right|=1 as derivadas das partes ficam singulares).

Passo 2

Derivada do primeiro termo \sqrt{t^{2}-1}.
Vou usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada da raiz quadrada. Se h(u)=\sqrt{u}, então
h'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Aqui tomamos u(t)=t^{2}-1. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-1} = h'(u(t))\cdot u'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t^{2}-1}}\cdot \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}-1\bigr).
Calculando u'(t)=\dfrac{d}{dt}(t^{2}-1)=2t. Substituindo,
\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-1} = \frac{1}{2\sqrt{t^{2}-1}}\cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}.
Observação didática: a regra da cadeia serve sempre que temos uma função composta h(u(t)). Aqui h(u)=\sqrt{u} e u(t)=t^{2}-1. A derivada do exterior vezes a derivada do interior dá a derivada total.

Passo 3

Derivada de \operatorname{arcsec}(t).
Vou derivar a partir da definição inversa. Seja
y=\operatorname{arcsec}(t).
Isso significa por definição inversa que
\operatorname{sec}(y)=t,
com y no ramo principal de \operatorname{arcsec} (normalmente y\in[0,\pi], y\neq\pi/2). Diferenciando ambos os lados em relação a t, aplicando derivada implícita (lembrando que \dfrac{d}{dy}\operatorname{sec}(y)=\operatorname{sec}(y)\tan(y) e dy/dt é o que queremos):
\operatorname{sec}(y)\tan(y)\cdot\frac{dy}{dt}=1.
Isolando \dfrac{dy}{dt},
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec}(y)\tan(y)}.
Agora expressamos tudo em termos de t. Como \operatorname{sec}(y)=t, temos
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t\,\tan(y)}.
Usamos a identidade trigonométrica \tan^{2}(y)=\operatorname{sec}^{2}(y)-1. Como \operatorname{sec}(y)=t,
\tan^{2}(y)=t^{2}-1\quad\Rightarrow\quad \tan(y)=\pm\sqrt{t^{2}-1}.
Aqui entra um detalhe sobre o sinal: no ramo principal de \operatorname{arcsec} a tangente tem sinal igual ao sinal de t vezes algo? Melhor raciocinar assim: para t\ge 1 tem-se y\in[0,\pi/2) e \tan(y)>0, então \tan(y)=+\sqrt{t^{2}-1}. Para t\le -1 tem-se y\in(\pi/2,\pi] e \tan(y)<0, então \tan(y)=-\sqrt{t^{2}-1}. Em ambos os casos o produto t\cdot \tan(y) é igual a \left|t\right|\sqrt{t^{2}-1}. Portanto
t\,\tan(y)=\left|t\right|\sqrt{t^{2}-1}.
Substituindo na expressão de dy/dt,
\frac{d}{dt}\operatorname{arcsec}(t)=\frac{1}{\left|t\right|\sqrt{t^{2}-1}}.
Esta é a fórmula padrão da derivada da arcsecância: prestar atenção ao valor absoluto em \left|t\right|.

Passo 4

Combinar as derivadas para obter g'(t).
Temos
\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-1}=\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}} \qquad\text{e}\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{arcsec}(t)=\frac{1}{\left|t\right|\sqrt{t^{2}-1}}.
Como g(t)=\sqrt{t^{2}-1}-\operatorname{arcsec}(t), pela linearidade da derivada:
g'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}-\frac{1}{\left|t\right|\sqrt{t^{2}-1}}.
Podemos juntar o denominador comum \sqrt{t^{2}-1}:
g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{\left|t\right|}}{\sqrt{t^{2}-1}}.

Passo 5

Simplificar e apresentar formas alternativas (úteis para prova).
A expressão com valor absoluto é correta e compacta:
g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{\left|t\right|}}{\sqrt{t^{2}-1}},\qquad \left|t\right|>1.
Se você preferir uma forma sem valor absoluto, dá para escrever de modo separado para t>1 e t<-1:
  • Se t>1 então \left|t\right|=t e
g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{t}}{\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{t^{2}-1}{t\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{\sqrt{t^{2}-1}}{t}.
  • Se t<-1 então \left|t\right|=-t e
g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{-t}}{\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{t+\dfrac{1}{t}}{\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{t^{2}+1}{t\sqrt{t^{2}-1}}.
Observe que em ambos os casos a derivada está definida apenas para \left|t\right|>1 (em t=\pm 1 as expressões explodem porque \sqrt{t^{2}-1}=0 no denominador).

Resposta

g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{\left|t\right|}}{\sqrt{t^{2}-1}},\qquad \left|t\right|>1.

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