Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
z=x^{2} y^{3}-3 x^{3} y^{2} em P=(1,2), na direção tangenta à curva y=x^{3}+1;

Passo 1

O enunciado dá a função z=f(x,y)=x^{2}y^{3}-3x^{3}y^{2}, o ponto P=(1,2) e pede a derivada direcional em P na direção tangente à curva y=x^{3}+1.
Informações relevantes:
  • Função: f(x,y)=x^{2}y^{3}-3x^{3}y^{2}.
  • Ponto: P=(1,2).
  • Curva cujo tangente define a direção: y=x^{3}+1.
    O que é pedido: calcular a derivada direcional de f em P ao longo da direção tangente a essa curva (ou seja, a taxa de variação de f em P na direção do vetor tangente).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha como se estivesse do meu lado):
A derivada direcional de uma função f(x,y) em um ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(P) é o gradiente de f em P, ou seja, o vetor das derivadas parciais \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(P),\dfrac{\partial f}{\partial y}(P)\right).
  • \mathbf{u} é o vetor de direção com comprimento 1. Se o vetor tangente natural não for unitário, devemos normalizá‑lo dividindo pelo seu comprimento.
    Por que isso funciona (intuição rápida): o gradiente aponta na direção de maior aumento e a derivada direcional é quanto desse aumento acontece na direção escolhida — a projeção (produto escalar) do gradiente sobre a direção unitária.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Vou aplicar regras básicas (derivada de potência e fator constante).
f(x,y)=x^{2}y^{3}-3x^{3}y^{2}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x y^{3}-3\cdot 3x^{2}y^{2}=2x y^{3}-9x^{2}y^{2}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}\cdot 3y^{2}-3x^{3}\cdot 2y=3x^{2}y^{2}-6x^{3}y.
Expliquei: nas potências usei d(x^n)/dx = n x^{n-1} e apliquei o produto com o outro fator que é tratado como constante.

Passo 4

Avaliar as parciais em P=(1,2).
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot1\cdot(2)^{3}-9\cdot1^{2}\cdot(2)^{2}=2\cdot8-9\cdot4=16-36=-20.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,2):
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=3\cdot1^{2}\cdot(2)^{2}-6\cdot1^{3}\cdot2=3\cdot4-12=12-12=0.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(1,2)=(-20,\,0).

Passo 5

Encontrar o vetor tangente à curva y=x^{3}+1 em P.
Parametrizo a curva por x=t, y=t^{3}+1. Assim uma parametrização é
\mathbf{r}(t)=(t,\,t^{3}+1).
O ponto P=(1,2) corresponde a t=1 (porque 1^{3}+1=2). O vetor tangente é a derivada da parametrização:
\mathbf{r}'(t)=(1,\,3t^{2}).
Em t=1:
\mathbf{r}'(1)=(1,\,3).
Esse é o vetor direção natural da tangente (ainda não unitário).

Passo 6

Normalizar o vetor tangente para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
Calcular o comprimento de \mathbf{r}'(1):
\|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Portanto o vetor unitário na direção tangente é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,\,3)=\Big(\frac{1}{\sqrt{10}},\,\frac{3}{\sqrt{10}}\Big).

Passo 7

Calcular a derivada direcional usando a fórmula \;D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.\
Com \nabla f(1,2)=(-20,0) e \mathbf{u}=\big(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\tfrac{3}{\sqrt{10}}\big):
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=(-20,0)\cdot\Big(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\Big)=-20\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}+0\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{20}{\sqrt{10}}.
Simplificando -\dfrac{20}{\sqrt{10}}=-20\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{10}=-2\sqrt{10}.

Passo 8

Verificação alternativa (curtiu ver de outro jeito?): definir g(t)=f(t,t^{3}+1). Pela regra da cadeia,
g'(t)=\nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
Em t=1 obtemos g'(1)=\nabla f(1,2)\cdot(1,3)=(-20,0)\cdot(1,3)=-20. Esse g'(1) é a taxa por unidade do parâmetro t. Para converter para taxa por unidade de comprimento (direção unitária) dividimos por \|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{10}, obtendo exatamente -20/\sqrt{10}=-2\sqrt{10}, consistente com o anterior.

Resposta

-2\sqrt{10}

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