Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
em
, na direção tangenta à curva
;
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e pede a derivada direcional em
na direção tangente à curva
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto:
. - Curva cujo tangente define a direção:
.
O que é pedido: calcular a derivada direcional deem ao longo da direção tangente a essa curva (ou seja, a taxa de variação de em na direção do vetor tangente).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha como se estivesse do meu lado):
A derivada direcional de uma função em um ponto
na direção de um vetor unitário
é dada por
A derivada direcional de uma função
Aqui:
-
é o gradiente de em , ou seja, o vetor das derivadas parciais . -
é o vetor de direção com comprimento . Se o vetor tangente natural não for unitário, devemos normalizá‑lo dividindo pelo seu comprimento.
Por que isso funciona (intuição rápida): o gradiente aponta na direção de maior aumento e a derivada direcional é quanto desse aumento acontece na direção escolhida — a projeção (produto escalar) do gradiente sobre a direção unitária.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou aplicar regras básicas (derivada de potência e fator constante).
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Expliquei: nas potências usei
e apliquei o produto com o outro fator que é tratado como constante.
Passo 4
Avaliar as parciais em
.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Encontrar o vetor tangente à curva
em
.
Parametrizo a curva por ,
. Assim uma parametrização é
Parametrizo a curva por
O ponto
corresponde a
(porque
). O vetor tangente é a derivada da parametrização:
Em
:
Esse é o vetor direção natural da tangente (ainda não unitário).
Passo 6
Normalizar o vetor tangente para obter o vetor unitário
.
Calcular o comprimento de :
Calcular o comprimento de
Portanto o vetor unitário na direção tangente é
Passo 7
Calcular a derivada direcional usando a fórmula
.\
Com e
:
Com
Simplificando
.
Passo 8
Verificação alternativa (curtiu ver de outro jeito?): definir
. Pela regra da cadeia,
Em
obtemos
. Esse
é a taxa por unidade do parâmetro
. Para converter para taxa por unidade de comprimento (direção unitária) dividimos por
, obtendo exatamente
, consistente com o anterior.