Mostramos no nosso curso que a derivada direcional de uma função em um ponto fixo atinge o seu maior valor na direção do gradiente desta função no ponto fixado. Refaça esse argumento detalhadamente. O que ocorre quando tomamos a derivada direcional em uma direção ortogonal ao gradiente?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Mostrar, passo a passo, por que a derivada direcional de uma função num ponto fixo atinge o seu maior valor quando tomamos a direção do gradiente nesse ponto.
  • Dizer o que ocorre quando a derivada direcional é tomada numa direção ortogonal ao gradiente.
Informações dadas / hipóteses que vamos usar:
  • Existe uma função diferenciável f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}.
  • Fixamos um ponto \mathbf a\in\mathbb{R}^n.
  • A derivada direcional de f em \mathbf a na direção de um vetor unitário \mathbf u é definida por
D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\lim_{t\to0}\frac{f(\mathbf a+t\mathbf u)-f(\mathbf a)}{t}.
  • O gradiente de f em \mathbf a é \nabla f(\mathbf a) (vetor em \mathbb{R}^n) e a aproximação diferencial válida para função diferenciável é
f(\mathbf a+\mathbf h)=f(\mathbf a)+\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf h + o(\|\mathbf h\|)\quad(\|\mathbf h\|\to0).

Passo 2

Definição e derivação da fórmula que liga derivada direcional ao gradiente.
Explicando devagar: a ideia é substituir \mathbf h=t\mathbf u na aproximação linear acima. Como f é diferenciável,
f(\mathbf a+t\mathbf u)=f(\mathbf a)+\nabla f(\mathbf a)\cdot(t\mathbf u)+o(\|t\mathbf u\|).
Dividindo ambos os lados por t (com t\neq0) obtemos
\frac{f(\mathbf a+t\mathbf u)-f(\mathbf a)}{t}=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u + \frac{o(\|t\mathbf u\|)}{t}.
Como \|t\mathbf u\|=|t|\|\mathbf u\| e \|\mathbf u\| é finito, o termo \dfrac{o(\|t\mathbf u\|)}{t} tende a 0 quando t\to0. Portanto o limite que define a derivada direcional existe e vale
D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u.
Comentário didático: isso significa que, para funções diferenciáveis, a derivada direcional é simplesmente o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção (usualmente tomado unitário). Não é preciso fazer limites complicados na prova — basta mostrar diferenciabilidade e aplicar a aproximação linear.

Passo 3

Mostrar que esse valor é máximo quando \mathbf u tem a direção do gradiente.
Primeiro, vamos escrever o produto escalar em termos de normas e do cosseno do ângulo entre os vetores. Se \theta é o ângulo entre \nabla f(\mathbf a) e \mathbf u, então
\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u=\|\nabla f(\mathbf a)\|\,\|\mathbf u\|\,\cos\theta.
Na definição usual de derivada direcional com \mathbf u unitário, temos \|\mathbf u\|=1. Logo
D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\|\nabla f(\mathbf a)\|\cos\theta.
Agora observe: \cos\theta varia entre -1 e 1. Assim o maior valor possível de D_{\mathbf u}f(\mathbf a) (quando variamos \mathbf u por todas as direções unitárias) é
\max_{\|\mathbf u\|=1} D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\|\nabla f(\mathbf a)\|,
atingido quando \cos\theta=1, isto é, quando \theta=0 — ou seja, quando \mathbf u aponta na mesma direção de \nabla f(\mathbf a).
Outra maneira equivalente, usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, é:
|\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u|\le \|\nabla f(\mathbf a)\|\,\|\mathbf u\|=\|\nabla f(\mathbf a)\|,
com igualdade exatamente quando \mathbf u é proporcional a \nabla f(\mathbf a). Como tomamos \mathbf u unitário, a igualdade máxima positiva ocorre quando
\mathbf u=\frac{\nabla f(\mathbf a)}{\|\nabla f(\mathbf a)\|}.
Interpretação prática: o gradiente aponta na direção de maior crescimento instantâneo da função; o valor desse crescimento máximo é a norma do gradiente.

Passo 4

O que ocorre quando \mathbf u é ortogonal ao gradiente?
Se \mathbf u é ortogonal a \nabla f(\mathbf a), então o produto escalar é zero:
\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u=0.
Pelo Passo 2 isso implica
D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=0.
Interpretação geométrica e física: direções ortogonais ao gradiente são tangentes às curvas (ou superfícies) de nível de f em \mathbf a. Numa direção tangente à superfície de nível, a função não muda (até primeira ordem), portanto a derivada direcional é zero — não há variação instantânea da altura da função nessa direção.

Passo 5

Casos especiais e observações úteis para prova e para a prova oral/exame
  1. Se \nabla f(\mathbf a)=\mathbf 0, então \|\nabla f(\mathbf a)\|=0 e, pela fórmula, D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=0 para toda direção unitária \mathbf u. Ou seja, todas as derivadas direcionais são zero (ponto crítico).
  2. O menor valor possível de D_{\mathbf u}f(\mathbf a) sobre vetores unitários é -\|\nabla f(\mathbf a)\|, atingido quando \mathbf u aponta na direção oposta a \nabla f(\mathbf a), isto é, \mathbf u=-\dfrac{\nabla f(\mathbf a)}{\|\nabla f(\mathbf a)\|}.
  3. Importante na prova: sempre normalize \mathbf u ao usar a relação D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u. Se um enunciado der um vetor não unitário, divida por sua norma primeiro.
  4. Hipótese necessária: usamos diferenciabilidade em \mathbf a. Se a função não for diferenciável, a fórmula D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u pode falhar (não existe \nabla f(\mathbf a) ou o comportamento limite é mais complicado).

Passo 6

Exemplo numérico simples para fixar a intuição
Considere f(x,y)=x^2+y^2. Então \nabla f(x,y)=(2x,2y). No ponto \mathbf a=(1,0) tem-se \nabla f(\mathbf a)=(2,0) e \|\nabla f(\mathbf a)\|=2.
Para uma direção unitária genérica \mathbf u=(\cos\theta,\sin\theta),
D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u=(2,0)\cdot(\cos\theta,\sin\theta)=2\cos\theta.
O máximo é 2 em \theta=0 (direção de \nabla f), e em \theta=\pi/2 (direção ortogonal) obtemos D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=0. Isso bate com as conclusões gerais.

Passo 7

Resumo prático para a prova (um truque rápido)
  • Calcule \nabla f(\mathbf a).
  • Normalize a direção de interesse para ter \mathbf u unitário.
  • Use D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf u.
  • O máximo sobre direções unitárias é \|\nabla f(\mathbf a)\| e ocorre quando \mathbf u=\dfrac{\nabla f(\mathbf a)}{\|\nabla f(\mathbf a)\|}.
  • Se \mathbf u\perp\nabla f(\mathbf a) então D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=0.

Resposta

A derivada direcional máxima (entre vetores unitários) em \mathbf a é \|\nabla f(\mathbf a)\|, atingida quando \mathbf u=\dfrac{\nabla f(\mathbf a)}{\|\nabla f(\mathbf a)\|}.
Se \mathbf u é ortogonal a \nabla f(\mathbf a) então D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=0.

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