Mostramos no nosso curso que a derivada direcional de uma função em um ponto fixo atinge o seu maior valor na direção do gradiente desta função no ponto fixado. Refaça esse argumento detalhadamente. O que ocorre quando tomamos a derivada direcional em uma direção ortogonal ao gradiente?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Mostrar, passo a passo, por que a derivada direcional de uma função num ponto fixo atinge o seu maior valor quando tomamos a direção do gradiente nesse ponto.
- Dizer o que ocorre quando a derivada direcional é tomada numa direção ortogonal ao gradiente.
Informações dadas / hipóteses que vamos usar:
- Existe uma função diferenciável
. - Fixamos um ponto
. - A derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário é definida por
- O gradiente de
em é (vetor em ) e a aproximação diferencial válida para função diferenciável é
Passo 2
Definição e derivação da fórmula que liga derivada direcional ao gradiente.
Explicando devagar: a ideia é substituir
na aproximação linear acima. Como
é diferenciável,
Dividindo ambos os lados por
(com
) obtemos
Como
e
é finito, o termo
tende a
quando
. Portanto o limite que define a derivada direcional existe e vale
Comentário didático: isso significa que, para funções diferenciáveis, a derivada direcional é simplesmente o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção (usualmente tomado unitário). Não é preciso fazer limites complicados na prova — basta mostrar diferenciabilidade e aplicar a aproximação linear.
Passo 3
Mostrar que esse valor é máximo quando
tem a direção do gradiente.
Primeiro, vamos escrever o produto escalar em termos de normas e do cosseno do ângulo entre os vetores. Se
é o ângulo entre
e
, então
Na definição usual de derivada direcional com
unitário, temos
. Logo
Agora observe:
varia entre
e
. Assim o maior valor possível de
(quando variamos
por todas as direções unitárias) é
atingido quando
, isto é, quando
— ou seja, quando
aponta na mesma direção de
.
Outra maneira equivalente, usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, é:
com igualdade exatamente quando
é proporcional a
. Como tomamos
unitário, a igualdade máxima positiva ocorre quando
Interpretação prática: o gradiente aponta na direção de maior crescimento instantâneo da função; o valor desse crescimento máximo é a norma do gradiente.
Passo 4
O que ocorre quando
é ortogonal ao gradiente?
Se
é ortogonal a
, então o produto escalar é zero:
Pelo Passo 2 isso implica
Interpretação geométrica e física: direções ortogonais ao gradiente são tangentes às curvas (ou superfícies) de nível de
em
. Numa direção tangente à superfície de nível, a função não muda (até primeira ordem), portanto a derivada direcional é zero — não há variação instantânea da altura da função nessa direção.
Passo 5
Casos especiais e observações úteis para prova e para a prova oral/exame
-
Se
, então e, pela fórmula, para toda direção unitária . Ou seja, todas as derivadas direcionais são zero (ponto crítico). -
O menor valor possível de
sobre vetores unitários é , atingido quando aponta na direção oposta a , isto é, . -
Importante na prova: sempre normalize
ao usar a relação . Se um enunciado der um vetor não unitário, divida por sua norma primeiro. -
Hipótese necessária: usamos diferenciabilidade em
. Se a função não for diferenciável, a fórmula pode falhar (não existe ou o comportamento limite é mais complicado).
Passo 6
Exemplo numérico simples para fixar a intuição
Considere
. Então
. No ponto
tem-se
e
.
Para uma direção unitária genérica
,
O máximo é
em
(direção de
), e em
(direção ortogonal) obtemos
. Isso bate com as conclusões gerais.
Passo 7
Resumo prático para a prova (um truque rápido)
- Calcule
. - Normalize a direção de interesse para ter
unitário. - Use
. - O máximo sobre direções unitárias é
e ocorre quando . - Se
então .
Resposta
A derivada direcional máxima (entre vetores unitários) em
é
, atingida quando
.
Se
é ortogonal a
então
.