Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
em
, na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto onde se quer a derivada direcional:
(valores genéricos). - Vetor de direção (não normalizado):
.
Passo 2
O que é derivada direcional (conceito): a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação da função quando nos deslocamos naquele sentido. A definição por limite é
onde
deve ser um vetor unitário (
). Há uma forma prática importante: se
é diferenciável, então a derivada direcional na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
no ponto e
:
Vou usar essa fórmula porque é a maneira mais direta e prática no cálculo de provas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (isto é, as componentes do gradiente). Lembre que a derivada parcial em relação a uma variável é a derivada tratando as outras como constantes.
- Derivada parcial em relação a
:
porque
varia linearmente em
.
- Derivada parcial em relação a
:
porque a derivada de
em relação a
é
, e
e
são constantes em relação a
.
- Derivada parcial em relação a
:
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Formar o gradiente no ponto
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Passo 5
Normalizar o vetor de direção dado. O vetor fornecido é
. Primeiro calculamos a norma:
O vetor unitário na direção de
é
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e
. Fazendo o produto componente a componente:
Agrupando termos no numerador e colocando o denominador em comum:
Passo 7
Breve verificação (opcional, para consolidar a ideia): pela definição de limite, se substituirmos
em
e expandirmos em série de Taylor de primeira ordem em
, o coeficiente linear em
será exatamente
. A expressão encontrada no passo anterior é esse coeficiente linear, então está consistente com a definição por limite.