Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
w=x+y^{2}+z^{3} em P=(x, y, z), na direção do vetor (1,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional da função w=x+y^{2}+z^{3} no ponto P=(x,y,z) na direção do vetor (1,-1,2).
Informações dadas:
  • Função: w(x,y,z)=x+y^{2}+z^{3}.
  • Ponto onde se quer a derivada direcional: P=(x,y,z) (valores genéricos).
  • Vetor de direção (não normalizado): (1,-1,2).

Passo 2

O que é derivada direcional (conceito): a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor unitário u mede a taxa de variação da função quando nos deslocamos naquele sentido. A definição por limite é
D_{u}w(P)=\lim_{t\to0}\frac{w(P+t\,u)-w(P)}{t},
onde u deve ser um vetor unitário ( \|u\|=1). Há uma forma prática importante: se w é diferenciável, então a derivada direcional na direção do vetor unitário u é o produto escalar entre o gradiente de w no ponto e u:
D_{u}w(P)=\nabla w(P)\cdot u.
Vou usar essa fórmula porque é a maneira mais direta e prática no cálculo de provas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (isto é, as componentes do gradiente). Lembre que a derivada parcial em relação a uma variável é a derivada tratando as outras como constantes.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial w}{\partial x}=1,
porque w=x+y^{2}+z^{3} varia linearmente em x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial w}{\partial y}=2y,
porque a derivada de y^{2} em relação a y é 2y, e x e z^{3} são constantes em relação a y.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial w}{\partial z}=3z^{2},
porque a derivada de z^{3} em relação a z é 3z^{2}.

Passo 4

Formar o gradiente no ponto P. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\label{grad} \nabla w(P)=\bigl(1,\;2y,\;3z^{2}\bigr).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção dado. O vetor fornecido é v=(1,-1,2). Primeiro calculamos a norma:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
O vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\;-\frac{1}{\sqrt{6}},\;\frac{2}{\sqrt{6}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e u. Fazendo o produto componente a componente:
D_{u}w(P)=\nabla w(P)\cdot u =1\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}+(2y)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)+(3z^{2})\cdot\frac{2}{\sqrt{6}}.
Agrupando termos no numerador e colocando o denominador em comum:
D_{u}w(P)=\frac{1-2y+6z^{2}}{\sqrt{6}}.

Passo 7

Breve verificação (opcional, para consolidar a ideia): pela definição de limite, se substituirmos P+t\,u em w e expandirmos em série de Taylor de primeira ordem em t, o coeficiente linear em t será exatamente \nabla w(P)\cdot u. A expressão encontrada no passo anterior é esse coeficiente linear, então está consistente com a definição por limite.

Resposta

\dfrac{1-2y+6z^{2}}{\sqrt{6}}

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