Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
z=e^{x^{2}-\cos y}-3 y em P=(x, y), na direção do vetor (2,3);

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • A função é z=f(x,y)=e^{x^{2}-\cos y}-3y.
  • O ponto indicado é P=(x,y) (ou seja, o resultado deve ficar em função de x e y).
  • A direção dada é pelo vetor (2,3).
  • O pedido: encontrar a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor (2,3).
Informações relevantes que vamos usar depois:
  • Para obter a derivada direcional precisamos do gradiente de f no ponto e de um vetor unitário na direção indicada.
  • O vetor dado é (2,3); para usar como direção devemos normalizá‑lo (transformá‑lo em vetor unitário).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Explicação rápida (regra da cadeia): se f(x,y)=e^{g(x,y)}+h(y), então \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{g(x,y)}\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{g(x,y)}\cdot \dfrac{\partial g}{\partial y}+h'(y).
No nosso caso, g(x,y)=x^{2}-\cos y e h(y)=-3y.
  • Calcule \dfrac{\partial g}{\partial x}: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}-\cos y)=2x (pois \cos y é constante em relação a x).
  • Logo
\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{x^{2}-\cos y}\cdot 2x.
  • Calcule \dfrac{\partial g}{\partial y}: \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}-\cos y)=\sin y (porque \dfrac{d}{dy}(-\cos y)=\sin y).
  • E h'(y)=\dfrac{d}{dy}(-3y)=-3.
  • Logo
\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{2}-\cos y}\cdot \sin y - 3.
Resumo das parciais (no ponto genérico P=(x,y)):
f_x(x,y)=2x\,e^{x^{2}-\cos y},\qquad f_y(x,y)=e^{x^{2}-\cos y}\sin y - 3.

Passo 3

Normalizar o vetor direção (2,3) para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
  • Comprimento (norma) do vetor (2,3) é \sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
  • O vetor unitário na mesma direção é
\mathbf{u}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}},\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right).

Passo 4

Definição e cálculo da derivada direcional.
  • Lembrete: a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar do gradiente pelo vetor \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}=f_x(P)\,u_{1}+f_y(P)\,u_{2}.
  • Substituindo u_{1}=\dfrac{2}{\sqrt{13}} e u_{2}=\dfrac{3}{\sqrt{13}} e as parciais calculadas:
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cdot\big(2x\,e^{x^{2}-\cos y}\big) +\dfrac{3}{\sqrt{13}}\cdot\big(e^{x^{2}-\cos y}\sin y - 3\big).
(Neste ponto foi aplicado: produto escalar + substituição das componentes do gradiente e do vetor unitário. A simplificação algébrica final vem na resposta.)

Resposta

D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\dfrac{e^{x^{2}-\cos y}\,(4x+3\sin y)-9}{\sqrt{13}}.

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