Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
em
, na direção do vetor
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- A função é
. - O ponto indicado é
(ou seja, o resultado deve ficar em função de e ). - A direção dada é pelo vetor
. - O pedido: encontrar a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor .
Informações relevantes que vamos usar depois:
- Para obter a derivada direcional precisamos do gradiente de
no ponto e de um vetor unitário na direção indicada. - O vetor dado é
; para usar como direção devemos normalizá‑lo (transformá‑lo em vetor unitário).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
e
.
Explicação rápida (regra da cadeia): se
, então
e
.
No nosso caso,
e
.
- Calcule
: (pois é constante em relação a ). - Logo
- Calcule
: (porque ). - E
. - Logo
Resumo das parciais (no ponto genérico
):
Passo 3
Normalizar o vetor direção
para obter o vetor unitário
.
- Comprimento (norma) do vetor
é . - O vetor unitário na mesma direção é
Passo 4
Definição e cálculo da derivada direcional.
- Lembrete: a derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é o produto escalar do gradiente pelo vetor :
- Substituindo
e e as parciais calculadas:
(Neste ponto foi aplicado: produto escalar + substituição das componentes do gradiente e do vetor unitário. A simplificação algébrica final vem na resposta.)