Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
y=(\csc \theta+\cot \theta)^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = (\csc \theta + \cot \theta)^{-1}
e pede a derivada de y em relação a \theta, ou seja, y' = \dfrac{dy}{d\theta}.
Informações relevantes: a função é a inversa (potência -1) de u(\theta)=\csc\theta+\cot\theta. Não há outras variáveis nem restrições explícitas (tomamos \theta num intervalo onde as funções trigonométricas envolvidas estão definidas).

Passo 2

Estratégia (passo a passo do raciocínio): quando temos uma função na forma (u(\theta))^{-1}, usamos a regra da cadeia combinada com a regra da potência para a função recíproca. A fórmula geral é: se
y = (u(\theta))^{-1},
então
\frac{dy}{d\theta} = - (u(\theta))^{-2}\cdot u'(\theta).
Aqui u'(\theta) é a derivada da função interior u(\theta)=\csc\theta+\cot\theta. Vou calcular u'(\theta) em detalhe e depois aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Derivando cada termo de u(\theta)=\csc\theta+\cot\theta.
Primeiro, recorde que \csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta} e \cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Derivada de \csc\theta:
\frac{d}{d\theta}\csc\theta = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\right).
Usando derivada de 1/\sin\theta (ou a regra do quociente), temos
\frac{d}{d\theta}\csc\theta = -\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.
Reescrevendo em termos de csc e cot:
-\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} = -\csc\theta\cot\theta.
Derivada de \cot\theta:
\frac{d}{d\theta}\cot\theta = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right).
Aplicando a regra do quociente ou lembrando a identidade padrão, obtemos
\frac{d}{d\theta}\cot\theta = -\frac{1}{\sin^2\theta} = -\csc^2\theta.
Portanto, somando:
u'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(\csc\theta+\cot\theta) = -\csc\theta\cot\theta - \csc^2\theta.

Passo 4

Fatorando u'(\theta) para simplificar:
u'(\theta) = -\csc\theta\cot\theta - \csc^2\theta = -\csc\theta(\cot\theta + \csc\theta).
Agora aplicamos a fórmula da inversa:
\frac{dy}{d\theta} = -\big(\csc\theta+\cot\theta\big)^{-2}\cdot u'(\theta).
Substituindo u'(\theta):
\frac{dy}{d\theta} = -\big(\csc\theta+\cot\theta\big)^{-2}\cdot\big(-\csc\theta(\cot\theta+\csc\theta)\big).

Passo 5

Simplificando a expressão (observe que \cot\theta+\csc\theta=\csc\theta+\cot\theta, mesma soma):
\frac{dy}{d\theta} = \csc\theta(\csc\theta+\cot\theta)\cdot (\csc\theta+\cot\theta)^{-2}.
Cancelando um fator (\csc\theta+\cot\theta) com o expoente -2:
\frac{dy}{d\theta} = \csc\theta\cdot (\csc\theta+\cot\theta)^{-1}.
Ou seja
\frac{dy}{d\theta} = \frac{\csc\theta}{\csc\theta+\cot\theta}.

Passo 6

Opcional — simplificação adicional para uma forma em senos e cossenos, que às vezes é mais clara: usando \csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta} e \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta},
\csc\theta+\cot\theta=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta},
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\frac{\csc\theta}{\csc\theta+\cot\theta}=\frac{\dfrac{1}{\sin\theta}}{\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}}=\frac{1}{1+\cos\theta}.
Também é interessante notar que, como y=(\csc\theta+\cot\theta)^{-1}, temos a relação simples
\frac{dy}{d\theta} = \csc\theta\cdot y,
o que é útil para verificar rapidamente resultados.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{\csc\theta}{\csc\theta+\cot\theta}
\displaystyle y'=\frac{1}{1+\cos\theta}

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