Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Informações relevantes: a função é a inversa (potência ) de
. Não há outras variáveis nem restrições explícitas (tomamos
num intervalo onde as funções trigonométricas envolvidas estão definidas).
Informações relevantes: a função é a inversa (potência
Passo 2
Estratégia (passo a passo do raciocínio): quando temos uma função na forma
, usamos a regra da cadeia combinada com a regra da potência para a função recíproca. A fórmula geral é: se
então
Aqui
é a derivada da função interior
. Vou calcular
em detalhe e depois aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Derivando cada termo de
.
Primeiro, recorde que
e
.
Derivada de
:
Usando derivada de
(ou a regra do quociente), temos
Reescrevendo em termos de csc e cot:
Derivada de
:
Aplicando a regra do quociente ou lembrando a identidade padrão, obtemos
Portanto, somando:
Passo 4
Fatorando
para simplificar:
Agora aplicamos a fórmula da inversa:
Substituindo
:
Passo 5
Simplificando a expressão (observe que
, mesma soma):
Cancelando um fator
com o expoente
:
Ou seja
Passo 6
Opcional — simplificação adicional para uma forma em senos e cossenos, que às vezes é mais clara: usando
e
,
logo
Também é interessante notar que, como
, temos a relação simples
o que é útil para verificar rapidamente resultados.