Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=\log _{b x} a x, \text { onde } \mathrm{a}>0 \text { e } \mathrm{b}>0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\log_{b x} a x
com as condições \;a>0\; e \;b>0\;. A tarefa é encontrar a(s) derivada(s) desta função — por exemplo \;f'(x)\; — e, implicitamente, como ficam as derivadas se a variável se chamar \;u\; ou \;t\; (isto é, \;f'(u), h'(t)\;, etc.). Listei as informações relevantes:
  • A função é \;f(x)=\log_{b x} a x\.
  • Constantes: \;a>0\; e \;b>0\;.
  • Domínio válido exige que o argumento do log seja positivo e a base positiva e diferente de 1, portanto precisamos de \;a x>0\; e \;b x>0\; e \;b x\neq 1\.
  • O que pedimos: a derivada da função em relação à variável (por exemplo \;x\;), e versão análoga para outros nomes de variável.

Passo 2

Primeiro passo matemático: usar a fórmula de mudança de base para logaritmos. A fórmula geral é
\log_{u} v = \frac{\ln v}{\ln u},
onde \ln é o logaritmo natural (base e). Aplicando isso a \log_{b x} a x temos
f(x)=\frac{\ln(a x)}{\ln(b x)}.
Explico por que isso é útil: derivadas de \ln são simples ( \frac{d}{dx}\ln x = 1/x), por isso transformar o log de base variável em razão de \ln facilita muito o cálculo.

Passo 3

Agora escrevo \ln(a x) e \ln(b x) usando a propriedade \ln(\alpha\beta)=\ln\alpha+\ln\beta:
\ln(a x)=\ln a + \ln x, \qquad \ln(b x)=\ln b + \ln x.
Assim podemos ver a função como a razão de duas funções mais simples:
f(x)=\frac{\ln a + \ln x}{\ln b + \ln x}.

Passo 4

Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Se \;F(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}\; com D(x)\neq 0, então
F'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2}.
No nosso caso, tome
N(x)=\ln a + \ln x,\qquad D(x)=\ln b + \ln x.
Agora calcule as derivadas de N e D. A constante \ln a tem derivada zero e a derivada de \ln x é 1/x. Logo
N'(x)=\frac{1}{x},\qquad D'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Substituindo N, D, N', D' na regra do quociente:
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{x}\big(\ln b + \ln x\big)-\big(\ln a + \ln x\big)\dfrac{1}{x}}{\big(\ln b + \ln x\big)^2}.
Coloco o fator comum 1/x em evidência no numerador:
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot\frac{\ln b + \ln x - \ln a - \ln x}{\big(\ln(b x)\big)^2}.
Repare que os termos \ln x se cancelam no numerador, sobrando apenas \ln b - \ln a. Assim
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot\frac{\ln b - \ln a}{\big(\ln(b x)\big)^2}.
Usando a identidade \ln b - \ln a = \ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right), obtenho a forma mais compacta
\boxed{\,f'(x)=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}{x\left(\ln(b x)\right)^2}\,}.

Passo 6

Verificações e observações úteis para prova (rápidas e práticas):
  • Domínio: precisamos de x>0 (já que a>0 e b>0) e b x\neq 1 (para evitar \ln(b x)=0 no denominador).
  • Caso especial: se a=b, então \ln(b/a)=0 e f'(x)=0. Isso bate com a observação de que \log_{b x} b x=1 (constante), cuja derivada é zero.
  • A mesma fórmula vale se a variável tiver outro nome: basta trocar x pelo símbolo da variável.

Resposta

f'(x)=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}{x\left(\ln(b x)\right)^2}\n
f'(u)=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}{u\left(\ln(b u)\right)^2}\n
h'(t)=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}{t\left(\ln(b t)\right)^2}

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