Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
com as condições
e
. A tarefa é encontrar a(s) derivada(s) desta função — por exemplo
— e, implicitamente, como ficam as derivadas se a variável se chamar
ou
(isto é,
, etc.). Listei as informações relevantes:
- A função é
- Constantes:
e . - Domínio válido exige que o argumento do log seja positivo e a base positiva e diferente de 1, portanto precisamos de
e e - O que pedimos: a derivada da função em relação à variável (por exemplo
), e versão análoga para outros nomes de variável.
Passo 2
Primeiro passo matemático: usar a fórmula de mudança de base para logaritmos. A fórmula geral é
onde
é o logaritmo natural (base
). Aplicando isso a
temos
Explico por que isso é útil: derivadas de
são simples (
), por isso transformar o log de base variável em razão de
facilita muito o cálculo.
Passo 3
Agora escrevo
e
usando a propriedade
:
Assim podemos ver a função como a razão de duas funções mais simples:
Passo 4
Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Se
com
, então
No nosso caso, tome
Agora calcule as derivadas de
e
. A constante
tem derivada zero e a derivada de
é
. Logo
Passo 5
Substituindo
na regra do quociente:
Coloco o fator comum
em evidência no numerador:
Repare que os termos
se cancelam no numerador, sobrando apenas
. Assim
Usando a identidade
, obtenho a forma mais compacta
Passo 6
Verificações e observações úteis para prova (rápidas e práticas):
- Domínio: precisamos de
(já que e ) e (para evitar no denominador). - Caso especial: se
, então e . Isso bate com a observação de que (constante), cuja derivada é zero. - A mesma fórmula vale se a variável tiver outro nome: basta trocar
pelo símbolo da variável.