Usando a derivação implícita determine
nas equações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
usando derivação implícita.
Informações relevantes: a igualdade envolve e
misturados;
é tratada como função de
(isto é,
) e devemos derivar ambos os lados em relação a
.
Informações relevantes: a igualdade envolve
Passo 2
Ideia geral (sem cálculos ainda): vamos derivar cada termo da igualdade em relação a
. Quando derivamos algo que depende diretamente de
usamos a regra usual; quando derivamos algo que depende de
(que por sua vez depende de
) usamos a regra da cadeia. Quando derivamos o produto
usamos a regra do produto. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Derivando o primeiro termo da esquerda:
.
A derivada de em relação a
é
.
Logo, do primeiro termo obtemos .
A derivada de
Logo, do primeiro termo obtemos
Passo 4
Derivando o segundo termo da esquerda:
.
Aqui é função de
. A regra da cadeia diz que a derivada de
em relação a
é a derivada exterior avaliada em
vezes a derivada interior
. A derivada exterior de
é
. Portanto,
Aqui
Passo 5
Derivando o lado direito:
.
Aqui aplicamos a regra do produto: se temos , então
. Tomando
e
, temos
e
. Portanto
Aqui aplicamos a regra do produto: se temos
Passo 6
Agora juntamos todas as derivações na equação original: derivada da esquerda é soma das derivadas dos dois cossenos, derivada da direita é o resultado do produto. Assim obtemos
Passo 7
Isolando
: primeiro passo é agrupar todos os termos que contêm
num lado e os demais no outro. Subtraindo
de ambos os lados e somando
aos dois lados obtemos
Agora fatoramos
no lado esquerdo:
Finalmente, dividimos pelo fator
(assumindo que não seja zero) para obter
:
Passo 8
Podemos simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por
, o que deixa a forma mais “limpa”:
Observação rápida: essa expressão é válida desde que
, pois não podemos dividir por zero.