Usando a derivação implícita determine \frac{d y}{d x} nas equações abaixo:
\cos (x)+\cos (y)=x y.

Passo 1

O enunciado dá a equação \cos(x)+\cos(y)=x y e pede para determinar \dfrac{d y}{d x} usando derivação implícita.
Informações relevantes: a igualdade envolve x e y misturados; y é tratada como função de x (isto é, y=y(x)) e devemos derivar ambos os lados em relação a x.

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos ainda): vamos derivar cada termo da igualdade em relação a x. Quando derivamos algo que depende diretamente de x usamos a regra usual; quando derivamos algo que depende de y (que por sua vez depende de x) usamos a regra da cadeia. Quando derivamos o produto x\cdot y(x) usamos a regra do produto. Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Derivando o primeiro termo da esquerda: \cos(x).
A derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x).
Logo, do primeiro termo obtemos -\sin(x).

Passo 4

Derivando o segundo termo da esquerda: \cos(y).
Aqui y é função de x. A regra da cadeia diz que a derivada de \cos(y(x)) em relação a x é a derivada exterior avaliada em y vezes a derivada interior y'(x). A derivada exterior de \cos é -\sin. Portanto,
\frac{d}{dx}\big(\cos(y)\big) = -\sin(y)\cdot\frac{d y}{d x}.

Passo 5

Derivando o lado direito: x y.
Aqui aplicamos a regra do produto: se temos u(x)v(x), então (uv)'=u'v+uv'. Tomando u(x)=x e v(x)=y(x), temos u'(x)=1 e v'(x)=\dfrac{d y}{d x}. Portanto
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=1\cdot y + x\cdot\frac{d y}{d x} = y + x\frac{d y}{d x}.

Passo 6

Agora juntamos todas as derivações na equação original: derivada da esquerda é soma das derivadas dos dois cossenos, derivada da direita é o resultado do produto. Assim obtemos
-\sin(x) - \sin(y)\frac{d y}{d x} = y + x\frac{d y}{d x}.

Passo 7

Isolando \dfrac{d y}{d x}: primeiro passo é agrupar todos os termos que contêm \dfrac{d y}{d x} num lado e os demais no outro. Subtraindo x\frac{d y}{d x} de ambos os lados e somando \sin(x) aos dois lados obtemos
-\sin(y)\frac{d y}{d x} - x\frac{d y}{d x} = y + \sin(x).
Agora fatoramos \dfrac{d y}{d x} no lado esquerdo:
\left(-\sin(y) - x\right)\frac{d y}{d x} = y + \sin(x).
Finalmente, dividimos pelo fator -\sin(y)-x (assumindo que não seja zero) para obter \dfrac{d y}{d x}:
\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sin(x)}{-\sin(y) - x}.

Passo 8

Podemos simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por -1, o que deixa a forma mais “limpa”:
\frac{d y}{d x} = -\frac{y + \sin(x)}{x + \sin(y)}.
Observação rápida: essa expressão é válida desde que x+\sin(y)\neq 0, pois não podemos dividir por zero.

Resposta

\displaystyle \frac{d y}{d x} = -\frac{y + \sin(x)}{x + \sin(y)}

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