Encontre as derivadas das funções abaixo aplicando as regras de derivação:
g(t)=(2 t^4-1)(5 t^3+6 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(t) = l(2t^4-1r)l(5t^3+6tr)
O assunto é a Regra do Produto e a Regra da Potência. Para duas funções
,u(t) e v(t), temos
ddtl[u(t),v(t)r] = u'(t),v(t) + u(t),v'(t)
Também usaremos que
ddtl[t^nr] = n,t^n-1

Passo 2

Definimos
u(t) = 2t^4-1
Aplicando a Regra da Potência a 2t^4 e lembrando que a derivada de constante é zero, obtemos
u'(t) = 2cdot 4,t^3 = 8t^3

Passo 3

Definimos
v(t) = 5t^3+6t
Derivando cada termo por vez, usando a Regra da Potência e a linearidade, vem
v'(t) = 5cdot 3,t^2 + 6cdot 1,t^0 = 15t^2 + 6

Passo 4

Pelo Produto,
g'(t) = u'(t),v(t) + u(t),v'(t)

Passo 5

Substituindo u, u', v e v' em g'(t) e simplificando:
g'(t) = 8t^3l(5t^3+6tr) +l(2t^4-1r)l(15t^2+6r)
Expandindo cada parte:
8t^3cdot5t^3 + 8t^3cdot6t = 40t^6 + 48t^4,
2t^4cdot15t^2 + 2t^4cdot6 - 1cdot15t^2 - 1cdot6 = 30t^6 + 12t^4 -15t^2 -6
Somando termos semelhantes,
g'(t) = (40+30)t^6 + (48+12)t^4 -15t^2 -6 = 70t^6 + 60t^4 -15t^2 -6

Resposta

g'(t) = 70t^6 + 60t^4 -15t^2 -6

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