Encontre as derivadas das funções abaixo aplicando as regras de derivação:
f(t)=raiz2 t4 t+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=raiz2t4t+1
Para resolver vamos usar a regra da cadeia (porque há uma raiz) e a regra do quociente (para derivar u(t)=2t/(4t+1)).

Passo 2

Primeiro reescrevemos
f(t)=l(u(t)r)^tfrac12,
onde u(t)=dfrac2t4t+1. Aplicando a regra da cadeia,
f'(t)=12,l(u(t)r)^-tfrac12cdot u'(t)

Passo 3

Agora derivamos
u(t)=2t4t+1
pela regra do quociente. Temos
u'(t) =(2),(4t+1)-2t,(4)(4t+1)^2 =8t+2-8t(4t+1)^2 =2(4t+1)^2

Passo 4

Substituindo u'(t) em f'(t) obtemos
f'(t) =12,l(u(t)r)^-tfrac12cdot2(4t+1)^2 =l(u(t)r)^-tfrac12(4t+1)^2
Como l(u(t)r)^-tfrac12=(2t/(4t+1))^-tfrac12=raiz4t+12t, então
f'(t) =raiz4t+12t(4t+1)^2 =1raiz2t,(4t+1)^3/2

Resposta

f'(t)=1raiz2t,(4t+1)^3/2

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