Encontre as derivadas das funções abaixo aplicando as regras de derivação:
f(x)=cossec(cos (x^2+1))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cossecl(cos(x^2+1)r)
O conteúdo necessário é a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas cos(x) e cossec(x).

Passo 2

Definimos a função interior
g(x)=x^2+1
Sua derivada é
g'(x)=2x,
pois tfracddx(x^2)=2x e tfracddx(1)=0.

Passo 3

Agora definimos
h(u)=cos(u),
avaliada em u=g(x). Pelo regra da cadeia,
ddxl[cos(g(x))r] =-sinl(g(x)r),g'(x) =-sin(x^2+1)cdot2x

Passo 4

Finalmente, definimos
v(w)=cossec(w),
avaliada em w=h(g(x))=cos(x^2+1). Sabendo que
ddwl[cossec(w)r] =-cossec(w),cot(w),
temos, pela cadeia,
ddxl[cossec(cos(x^2+1))r] =-cossecl(cos(x^2+1)r), cotl(cos(x^2+1)r),ddxl[cos(x^2+1)r]

Passo 5

Substituindo tfracddx[cos(x^2+1)]=-2xsin(x^2+1) em cima e simplificando o sinal, obtemos
f'(x) =-cossec(cos(x^2+1)),cot(cos(x^2+1)), l(-2xsin(x^2+1)r) =2x,sin(x^2+1),cossec(cos(x^2+1)),cot(cos(x^2+1))

Resposta

f'(x) =2x,sin(x^2+1),cossecl(cos(x^2+1)r),cotl(cos(x^2+1)r)

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