Encontre as derivadas das funções abaixo aplicando as regras de derivação.
f(x)=arcsec(x^3+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = arcsecl(x^3+1r)
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada à derivada da função inversa arcsec(u).

Passo 2

Sabemos que, para u=u(x), vale
ddxl[arcsec(u)r] = u'lvert urvertraizu^2-1

Passo 3

Definimos u(x)=x^3+1. Então
u'(x)=ddxl(x^3+1r)=3x^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, substituímos u e u' na fórmula da derivada de arcsec(u):
f'(x) = u'(x)lvert u(x)rvertraizl(u(x)r)^2-1 = 3x^2lvert x^3+1rvertraiz(x^3+1)^2-1

Resposta

f'(x)=3x^2lvert x^3+1rvertraiz(x^3+1)^2-1

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